公式

大きな素数

また新しいメルセンヌ素数が発見されたようです。 だとか。 桁にもなるそうです。 では、これより大きな素数にはどのようなものがあるのでしょうか。 実は、以前に掲載した素数生成式を使うと、そのような素数を求める式を簡単に作ることができます。 番目の…

続続・素数生成式

クロネッカーのデルタ は, を のとき , のとき と定義することにより, と表すことができます. これを使って以前のものを書き換えると, 次のようになります.

素数生成式

式の導出方法はこちら。 「追記」 こちらの方が簡単です。

分割数と多項係数と2のべき乗の関係の証明の概略

前回の話の続きです。証明の概略を述べます。 まずは次のような行列式を考えてみます。 この行列式を展開して整理すると、5の分割に対応する全ての項が現れます。 例えば、 は、1 が 3 個で 2 が 1 個、すなわち、1+1+1+2=5 を表しています。 係数の -4 は、…

分割数と多項係数と2のべき乗の関係

分割数について考えているうちに、一つの公式が出来上がりました。 まずは記号の定義から。 整数 n の分割全体の集合を で表し、分割 に含まれる i の個数を で表します。 例えば、 5 = 1+1+1+1+1 = 1+1+1+2 = 1+2+2 = 1+1+3 = 2+3 = 1+4 = 5 なので、5 の分…

三角関数の相互関係の公式

三角関数の相互関係を表す公式といえば、次の二つが代表的です。 …(1) …(2) ところで、(1) はサインとコサイン、(2) はコサインとタンジェントの関係式ですが、では、タンジェントとサインの関係式はないのでしょうか。 あります。 (1) の両辺を で割って …(…

三角形の合同条件と面積の公式

三角形の面積を求める公式と言えば などがあります。 これは、2辺と間の角から面積を求めるものです。 2辺と間の角が等しい三角形は全て合同なので、三角形の面積は一意に定まります。 ところで、三角形の合同条件には他に2つありました。 1つは、「3辺がそ…