分割数

分割数の公式の歴史

突然ですが、次のような問題を考えてみましょう。 n 個のボールを r 個の箱に入れるとき、入れ方は何通りあるか。 非常にシンプルな問題です。何が難しいのかと思った人もいるでしょう。 しかし! 設定を変えることで、様々に異なった問題ができます。 ボー…

分割数の閉じた公式 - 書き下しバージョン

全体像が表示されないときは、下のURLに直にアクセスしてください。 画像URL: http://d.hatena.ne.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?\displaystyle~\mathrm{P}(n)~=~\sum_{m=1}^n~n^{m-n}~\sum_{i_1=1}^{n^n}~\frac{\prod_{i_2=1}^n~\left(\sum_{j_1=1}^{m}\prod_{j_…

分割数の閉じた公式だよ♪

分割数の閉じた公式は発見されていない、という話を知って、どうにか作れないかと思って苦戦した結果、公式を作ることに成功しちゃった自分。 これは大変だ。一大事だ。もしかしたら歴史に名前が残るかも!などと喜び勇んだわけですが、よくよく考えてみると…

分割数の公式の証明が完了

分割数を表す有限な閉じた式の証明が完了しました。 証明は難しいものではなく、理工系の大学一年生にでも充分に理解可能であると思われます。 っていうか、対称群の概念と の記号の意味さえ分かれば充分です。 どうしてこんなに簡単なことが今まで発見され…

大変なことをしてしまいました

分割数を求める有限な閉じた式を作ることに成功しました。 もっと厳密に言うと、分割数を有限個の有理数の和として表すことに成功しました。 これまでに、分割数を無限個の無理数の和として表す公式は発見されていたのですが、自分のような結果は初めてなの…

分割数と多項係数と2のべき乗の関係の証明の概略

前回の話の続きです。証明の概略を述べます。 まずは次のような行列式を考えてみます。 この行列式を展開して整理すると、5の分割に対応する全ての項が現れます。 例えば、 は、1 が 3 個で 2 が 1 個、すなわち、1+1+1+2=5 を表しています。 係数の -4 は、…

分割数と多項係数と2のべき乗の関係

分割数について考えているうちに、一つの公式が出来上がりました。 まずは記号の定義から。 整数 n の分割全体の集合を で表し、分割 に含まれる i の個数を で表します。 例えば、 5 = 1+1+1+1+1 = 1+1+1+2 = 1+2+2 = 1+1+3 = 2+3 = 1+4 = 5 なので、5 の分…

分割数

最近、分割数というものにはまっています。分割数というのは、自然数をいくつかの自然数の和として表す場合の数のことです。例えば、4の分割は1, 1, 1, 1 1, 1, 2 1, 3 2, 2 4の5種類あります。たったこれだけのことなのですが、実は、自然数nが与えられたと…