1970年の東大数学の問題を解いていたら, 約数の総積に関するものがありました。 総積というと明治時代の文豪の名前のようで聞きなれないようで何なのかとお思いの方もいらっしゃるかもしれませんが, 要するに全ての約数を掛け算した値のことですぷ。 ちょっ…

なんか昨日に書いたのよりもっと簡単な証明を思いついたので書きます。 [4] 二角と, 一方の角の対辺がそれぞれ等しい。 △ABCと△A'B'C'において, A=A', B=B', a=a' とする。 A=A', B=B' より C=C' である。 よって a=a', B=B', C=C' より, 一辺とその両端の角…

2006年に会社法が制定され, これまであった有限会社は廃止され, 新たに合同会社が設けられました。 合同会社があるのに相似会社はありません。これはおかしなことです。 しかし, 掃除を主な業務とする掃除会社なら存在します。 というわけで, 今日は三角形の…

ノストラダムスの大予言は, メディアが手を入れて人々の不安を助長するように解釈したことから大きな話題を呼びましたが, 結局は1999年は何事もなく過ぎました。 今日の話題は手入りの予言についてではなく, 余弦定理についてです！ 余弦定理： この定理を使…

n 重根号という言葉が正式なものとして数学の世界で広く認められているかは私の窺い知るところではないのですが, 2 重根号という言葉は入学試験, 入社試験の問題などでしばしば見かけます. 例えば, 次のようなものがあります. 次の 2 重根号をはずしてね♡ こ…

かなり久しぶりの更新です。 次のような問題を考えてみましょ。 【問題】 勇敢な宇宙イモムシが宇宙を横断しようと決意しました。 宇宙には果てがあり、直径は 465 億光年、大体 メートルあります。 宇宙イモムシは、その端っこにいます。 また、宇宙は 137 …

前回の復習. 半径が の 次元球の超体積は だぽよ. 超表面積（便宜上、そう呼ぶ）は だぽよ. ここで, は 以上の最小の整数, は 以下の最大の整数を表すでごんす. あと, でごわす. なかなか壮観ですねっ！ これらをよく見てみると, 途中までは増加するものの, …

実数 , について が有理数なのか無理数なのかは , のそれぞれが有理数であるか無理数であるかに依存するんだっぺかどうなんだっぺか. まずは積について考えてみっぺ. (1) ゆ×ゆ なので, ゆ×ゆ = ゆ. (2) ゆ×む 0×む = 0 これは, ゆ×む = ゆ になってる. また…

こんにちくわ。 半径 の円の面積は , 円周は . 半径 の球の体積は , 表面積は . んだらば, 次元になったらどうなるんだっぺ. 今回は, それがお題です. 長いですよ. 次元について考察する前に, まずは円の面積や球の体積をどうやって求めるのか考えてみましょ…

実数には、有理数と無理数があります。 有理数というのは、大雑把に言えば、「整数/整数」の形で表される数のことです。 無理数は、有理数以外の実数です。 (1) 有理数＋有理数は、有理数になります。 何故なら、整数 a, b, c, d について a/b + c/d = (ad+b…

前回の記事で、各頂点の極限が存在して各々が一致するということを天下り的に認めていましたが、そのままではキモチワルイので、ちゃんと証明してみましたよ。 以下、 などを略して などと書くことにします。 というわけで、三項間漸化式 ができましたよっ！…

こんな問題を考えました. 平面上に三角形 があり, , , である. 以上の自然数 と点 , , に対し, の中点を , の中点を , の中点を とおく. また, の座標を で表す. 他も同様. このとき, および を求めよ. ただし, ( についても同様)であることを用いてよい. 何…

「大学への数学」の問題の中に、次のようなものがありましたとさ。 定数 a, b, c について関数 を考える。 f(x) は x = 1 において微分可能で、f(3) = 0 を満たしている。 このとき、a, b, c の値を求めよ。 （一橋大・経-後期） この問題の簡単な解き方は、…

こんにちは。ヘロヘロ気味です。 最近は受験勉強とFF13のために多忙につき、ブログの更新が滞っておりました。 さてさて。今日はヘロンの公式の話です。 ヘロンの公式は三角形の面積 S を求めるお馴染みの公式で、三辺 a, b, c の和の半分 (a+b+c)/2 を s と…

オプティマは、やはり56種類ありました。 [参考] FF13攻略wikiガイド このサイトにあるオプティマの一覧は、順序良く並べられていて圧巻です。 その順序とは、次の通り。 まず、ロールを適当に順序付けし、順序の早い方から、それが3つ、2つ、1つの場合を順…

こんにちは。 最近、すっかり更新が滞ってしまっています。 それというのも、受験勉強を開始したからです。 その上、一昨日にはファイナルファンタジー13（FF13）が発売され、買ってしまいましたので、仕事に勉強に遊びにと、大忙しの毎日なのであります。 …

三角形の三辺の長さから三角形の面積を求める公式として、ヘロンの公式は有名です。 三辺の長さを a, b, c, そして s = (a+b+c)/2 とおくと、三角形の面積 S は で表されます。 ではでは。ヘロンの公式を拡張して、四角形の面積を、その四辺の長さから求める…

高校の数学2の教科書を読むと、色々なサインカーブについて書かれてあります。 今回は、もっと色々なサインカーブを紹介したいと思います。 まずはこちら。 これが普通のサインカーブ（正弦曲線です）。 を に変えると… となり、左右が反対になりました。 で…

「大学への数学」を読んでいたら、 を解かなければならない問題がありました。 これの答えは なのですが、一般的な解法が分からず、困ってしまいました。 のよく使われる代表的な値は限られているので、一つ一つ検証していけばこの問題については解を見つけ…

サイクロイドの面積を求めてみましょ。 サイクロイドというのは という を媒介変数として表される曲線のことです。 それから、ここでいうところの面積は、x 軸とで囲まれた最初の部分の面積を指します。 周期は なので、面積は …(1) で求められます。 ここで…

今年の高校生クイズには、次のような問題が出題されました。 サイコロを 6 回振り、途中で出目の総和が 6 になる確率を求めよ。 数学オリンピックに出題された問題らしく、茂木さんは「最高に難しい」と言っていましたが、私が試しにやってみたら簡単に解け…

ちょっと難しい因数分解の問題を作ってみました。 定石によらない発想が必要です。 次の式を因数分解せよ。

数学的帰納法は、一般的には次のような仕組みを持ちます。 [ 数学的帰納法(1) ] 自然数についての命題 P(n) について (i) n = 1 のとき成り立つ。 (ii) n = k のときに成り立つならば n = k + 1 のときに成り立つ。 以上の (i), (ii) が満たされるとき、全て…

恥ずかしながら、今日になってやっと、外分の意味を理解することができました。 うわー、恥ずかしいー。 線分 AB の外分点は、線分 AB の内分点の概念を拡張したものです。 簡単のため、数直線上で A は B の左側にあるものとします。 ここで、点 P が線分 A…

2点 , を通る直線の方程式は、 のとき …(1) で表されると、高校数学の教科書には書いてあります。 これは、点 を通り傾きが m の直線の方程式が で表されることから導かれます。 一方、直線が も通ることから、こちらを代入することもできます。 すると …(2)…

以前にこのブログに載せた二つの因数分解の問題の解答を載せておきます。 問題1 これは各文字について2次式になっています。 こういう場合は、適当な文字について整理するのが定石。 さらに、x について整理してから y について整理すると吉。 与式 問題2 x …

ふと思い立って、次のような問題を作ってみました。 次の式を因数分解せよ。 因数分解の基本がちゃんと理解できていれば解ける問題です。 とは言っても、実際に解くにあたっては、因数分解の解法にかなり習熟している必要があるかと思われます。 暇つぶしに…

ふと思い立って、次のような問題を作ってみました。 次の式を因数分解せよ。 因数分解の基本がちゃんと理解できていれば解ける問題です。 高校1年生の娘さんにいかがでしょうか＞数学科出身のお父さん 問題を出した途端に放棄されたら悲しいですが（＞＜） …