三角形の合同条件と面積の公式

三角形の面積を求める公式と言えば
$S=\frac{1}{2}bc\sin A$
などがあります。
これは、2辺と間の角から面積を求めるものです。
2辺と間の角が等しい三角形は全て合同なので、三角形の面積は一意に定まります。
ところで、三角形の合同条件には他に2つありました。
1つは、「3辺がそれぞれ等しい」。
これに対応する公式は何かと言うと、ヘロンの公式です。
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ただし、
$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$
です。
では、次。「1辺と両端の角」に対応する公式は何でしょうか。
実は、これは高校数学の教科書には載っていません。
そこで、今日は自分で公式を作ってみました。
三角形ABCにおいて、BとCとaのみが分かっている状況を考えます。
このとき、正弦定理により
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
なので
$b = \frac{\sin B}{\sin A}a$
となり、ここで
$\sin A = \sin(180^\circ -(B+C)) = \sin (B+C)$
なので、これを代入して
$b = \frac{\sin B}{\sin (B+C)}a$
したがって
$S = \frac{1}{2}ab \sin C$
$= \frac{1}{2}a \frac{\sin B}{\sin (B+C)}a \sin C$
$= \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sin B \sin C}{\sin (B+C)}$
加法定理を使うと
$= \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sin B \sin C}{\sin B \cos C + \cos B \sin C}$
となります。
結構、扱いにくい公式ができあがりました。
扱いにくいから教科書には載っていないんですね、きっと。
でも、あとで調べてみたところ、Wikipediaには載っていました。