サイクロイドの面積

サイクロイドの面積を求めてみましょ。


サイクロイドというのは
x = a(\theta - \sin \theta)
y = a(1 - \cos \theta)
という \theta を媒介変数として表される曲線のことです。
それから、ここでいうところの面積は、x 軸とで囲まれた最初の部分の面積を指します。


周期は 2 \pi なので、面積は
\int_0^{2 \pi} y dx = \int_0^{2 \pi} y \frac{dx}{d \theta} d \theta …(1)
で求められます。
ここで
\frac{dx}{d \theta} = {a(\theta - \sin \theta)}' = a(1 - \cos \theta)
なので
(1)  = \int_0^{2 \pi} a^2(1 - \cos \theta)^2 d \theta
 = a^2 \int_0^{2 \pi} (1 - 2 \cos \theta + \cos^2 \theta) d \theta
 = a^2 \int_0^{2 \pi} (1 - 2 \cos \theta + \frac{1+\cos 2 \theta}{2}) d \theta
 = a^2 \int_0^{2 \pi} (\frac{3}{2} - 2 \cos \theta + \frac{1}{2}\cos 2 \theta) d \theta
 = a^2 \left[\frac{3}{2} \theta - 2 \sin \theta + \frac{1}{4} \sin 2 \theta \right]_0^{2 \pi}
 = 3 \pi a^2


したがって、円の半径が 1 なら、面積は 3 \pi です。
円の面積が \pi で、底の部分の長さが 2 \pi なので、なかなか面白いなと思います。


めでたし。
(ネタがないので書いてみました。)