単位階段関数

その他

実家に帰ってきました。
来年度からは故郷の福島県にて、引き続き高校生に数学を教えることを生業とすることになりました。


それはそれとして、今日は、単位階段関数
\mathrm{U}(n) = \left\{\begin{array}1&(n\geq0)\\0&(n<0)\end{array}\right.
の作り方について。
ただし、定義域は整数全体とします。


最初、私が考えたのは次のようなものでした。
\mathrm{U}(n) = \frac{3+n+|n+1|-|1-n-|n+1||}{4}


これに対し、結城浩さん（id:hyuki）が考えたのが、こちら。
\mathrm{U}(n) = \frac{1}{2}\left(\frac{2n+1}{|2n+1|}+1\right)


くるるさん（id:kururu_goedel）は、x*y を、y が未定義であっても x=0 の場合には常に 0 を返すと定義した上で、次のように構成。
\mathrm{U}(n) = 1 + \frac{n}{2}\left(\left|\frac{1}{n}\right|-\frac{1}{n}\right)


それぞれの定義域を実数全体（くるるさんのは x=0 は除く）に拡張してグラフを描いてみると、次のようになります。


私の：

結城浩さんの：

くるるさんの：


他にも、単位階段関数を作る方法は色々とあるかもしれません。
絶対値を使わないと無理っぽいですが。
興味のある方は、探してみてはいかがでしょうか。