1958年　一次　文科　[4] - イガブロギュ

次の方程式の表す曲線は下に示したイからヘまで

の 6 つの曲線のいずれかである。
(i) $(x-1)(y-2)^2=1$
(ii) $(x-1)^2(y-2)=1$
(iii) $(x-1)(y-2)=1$
(iv) $(x-1)^2(y-2)^2=1$
このとき, 次の□にイロハニホヘのうちの適当なものを記入せよ。
(i) のグラフは (13)□, (ii) のグラフは (14)□, (iii) のグラフは (15)□, (iv) のグラフは (16)□ である。

定義域または値域を把握することが大切です.

(i)
$x-1=\frac{1}{(y-2)^2}>0$ より $x>1$ だから, ハ.

(ii)
$y-2=\frac{1}{(x-1)^2}>0$ より $y>2$ だから, ニ.

(iii)
$y=\frac{1}{x}$ で表される双曲線を $x$ 軸方向に $1$ , $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したものだから, イ.

(iv)
直線 $x=1$ に関して左右対称かつ直線 $y=2$ に関して上下対称だから, ヘ.

解答は以上ですが, 一般に, $x$ , $y$ についての関数 $f(x,y)=0$ のグラフは
$f(-x,y)=f(x,y)$ のとき $y$ 軸に関して対称
$f(x,-y)=f(x,y)$ のとき $x$ 軸に関して対称
$f(-x,-y)=f(x,y)$ のとき原点に関して対称
となります.
このことを踏まえた上での別解は次のようになります.

$X=x-1$ , $Y=y-2$ とおく.

(i)
$XY^2-1=0$
左辺を $f(X,Y)$ とおくと
$f(-X,Y)\neq f(X,Y)$
$f(X,-Y)=f(X,Y)$
$f(-X,-Y)\neq f(X,Y)$
より, 関数 $f(X,Y)=0$ のグラフは $XY$ 座標平面において $X$ 軸に関して対称であり, $Y$ 軸, 原点に関して対称でない.
また, 定義域は $X>0$ である.
よって, ハ.

以下省略.