1959年　二次　数学1　幾何　[2]

△ABC の内部に △A'B'C' をとり, その 3 辺 A'B', B'C', C'A' はそれぞれ△ABC の 3 辺 AB, BC, CA に平行で, 対応する辺の間の距離はいずれも $h$ であるとする。△A'B'C' の周が △ABC の周の $\frac{1}{2}$ であるとき, $h$ を $a$ , $b$ , $c$ で表わせ。ただし $a=BC$ , $b=CA$ , $c=AB$ とする。

△ABC と △A'B'C' は各辺が平行であるから対応する角も等しく, したがって相似である.
$a'=B'C'$ , $b'=C'A'$ , $c'=A'B'$ とおくと題意より
$a+b+c=2(a'+b'+c')$
また, 相似比を $k:1$ とおけば $a+b+c=ka'+kb'+kc'=k(a'+b'+c')$
よって, $k=2$ であり, 相似比は $2:1$ である.
A' と AB, AC までの距離が $h$ なので, A' は ∠A の二等分線上にある.
さらに, AB//A'B', AC//A'C' であるから, 平行線の同位角が等しいことにより, ∠A の二等分線はまた ∠A' の二等分線でもある.
他の角についても同様.
したがって, △ABC の内心と △A'B'C' の内心は一致する.
よって, △ABC, △A'B'C' の内接円の半径をそれぞれ $r$ , $r'$ とおくと
$r:r'=2:1$ , $r'+h=r$ より $r=2h$
△ABC の内心を I, 面積を S とおくと △ABC=△IAB+△IBC+△ICA より
$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)=h(a+b+c)$
また, ヘロンの公式より
$S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$
したがって
$h(a+b+c)=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$
$h=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{a+b+c}}$

ヘロンの公式は $s=\frac{a+b+c}{2}$ として
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
で表されますが, 私はこの解答で書いた形の方が, 計算しやすくて好きです.