1959年　二次　数学3　[1]

$a$ , $b$ を実の定数とするとき, 定積分
$I(a,b)=\int_0^\pi(1-a\sin x-b\sin 2x)^2dx$
を求めよ。また $I(a,b)$ を最小にする $a$ , $b$ の値を定めよ。

二次以上の三角関数を積分するときには次数を下げるのが定石です.
その際に使うのは半角公式及び積和公式です.
積和公式は加法定理よりすぐに導かれますが, 覚えておいた方がよいです.
ちなみに私は覚えていません.
てへっ.

$I(a,b)=\int_0^\pi(1+a^2\sin^2x+b^2\sin^22x-2a\sin x+2ab\sin x\sin2x-2b\sin2x)dx$
$=\int_0^\pi\left\{1+a^2\cdot\frac{1-\cos2x}{2}+b^2\cdot\frac{1-\cos4x}{2}-2a\sin x+2ab\left(-\frac{1}{2}\right)(\cos3x-\cos x)-2b\sin2x\right\}dx$
$=\left[\left(1+\frac{a^2+b^2}{2}\right)x-\frac{a^2}{4}\sin2x-\frac{b^2}{8}\sin4x+2a\cos x-\frac{ab}{3}\sin3x+ab\sin x+b\cos2x\right]_0^\pi$

ここで上手いこと $\sin$ が全部消えます.

$=\left\{\left(1+\frac{a^2+b^2}{2}\right)\pi-2a+b\right\}-(2a+b)$
$=\left(1+\frac{a^2+b^2}{2}\right)\pi-4a$
これが最小になるには $b=0$ が必要で, このとき
$I(a,b)=\frac{\pi}{2}a^2-4a+\pi=\frac{\pi}{2}\left(a-\frac{4}{\pi}\right)^2-\frac{8}{\pi}+\pi$
よって, $I(a,b)$ は $(a,b)=\left(\frac{4}{\pi},0\right)$ のとき最小となる.