1959年　二次　数学3　[2]

$x$ , $y$ 平面上の点 $(0,a)$ を P, 直線 $y=a$ を $g$ とする。 $g$ を含み $y$ 軸に垂直な平面上に, P を中点とし $g$ と $60^{\circ}$ をなす長さ $2b$ の線分 AB をとり, A, B から $x$ 軸におろした垂線の足をそれぞれ C, D とする。ねじれ四辺形 ABDC を $x$ 軸のまわりに回転するときできる立体の体積を求めよ。

ねじれ四辺形という見慣れない言葉が出てきましたが, おそれる必要はありません.
要は, 線分 AB を $x$ 軸のまわりに回転させるときできる曲面と, 平面 $x=\pm\frac{b}{2}$ によって囲まれた立体の体積を求めればよいのです.

$x$ , $z$ 平面を考え, 次のように座標を設定する.

平面 $x=t$ ( $t>0$ ) と線分 PB との交点を Q $(t,a,z)$ とおくと
$t:z=1:\sqrt{3}$ より $z=\sqrt{3}t$
よって $Q(t,a,\sqrt{3}t)$
平面 $x=t$ と $x$ 軸との交点を R とおくと $R(t,0,0)$ で
$QR=\sqrt{a^2+3t^2}$
求める立体は, 線分 AB を $x$ 軸のまわりに回転させるときできる曲面と, 平面 $x=\pm\frac{b}{2}$ によって囲まれた部分だから, その体積は
$2\pi\int_0^{\frac{b}{2}}(\sqrt{a^2+3t^2})^2dt$
$=2\pi\int_0^{\frac{b}{2}}(a^2+3t^2)dt$
$=2\pi[a^2t+t^3]_0^{\frac{b}{2}}$
$=\pi b\left(a^2+\frac{b^2}{4}\right)$

やっと, 遅れていた分を取り戻すことができました.
しかし, 同時に, 解いた問題のストックも 0 になりました.