1960年　一次　理科・衛生看護学科　[5]

次の□の中に適当な整数を記入せよ。

$\log_223$ の小数第 1 位以下を切り捨てると (17)□ となる。
$\log_431$ の小数第 1 位以下を四捨五入すると (18)□ となる。
$\log_3140$ の小数第 1 位以下を四捨五入すると (19)□ となる。
$\log_556$ の小数第 1 位以下を四捨五入すると (20)□ となる。

ただし $\sqrt{3}=1.732\cdots$ , $\sqrt{5}=2.236\cdots$ である。

$\sqrt{3}$ や $\sqrt{5}$ をどう使えばよいのやら.
底が $3$ または $5$ のときに使えるのではないか, と考えます.

$4=\log_216<\log_223<\log_232=5$
よって, $\log_223$ の小数第 1 位以下を切り捨てると $4$ となる.

$2=\log_416<\log_431<\log_432=\frac{\log_232}{\log_24}=2.5$
よって, $\log_431$ の小数第 1 位以下を四捨五入すると $2$ となる.

$4=\log_381<\log_3140<\log_381\sqrt{3}=4.5$
よって, $\log_3140$ の小数第 1 位以下を四捨五入すると $4$ となる.

$2.5=\log_525\sqrt{5}<\log_556<\log_5125=3$
よって, $\log_556$ の小数第 1 位以下を四捨五入すると $3$ となる.

実は, $\sqrt{3}$ と $\sqrt{5}$ の値を使わなくても解くことができます.
以下, 別解です.

$2=\log_416<\log_431<\log_464=3$ より, $\log_431$ の整数部分は $2$ である.
また, $4^5>31^2$ より
$4^{2.5}>31$
$2.5=\log_44^{2.5}>\log_431$
以上により, $2<\log_431<2.5$
よって, $\log_431$ の小数第 1 位以下を四捨五入すると $2$ となる.

$4=\log_381<\log_3140<\log_3243=5$ より, $\log_3140$ の整数部分は $4$ である.
また, $3^9>140^2$ より
$3^{4.5}>140$
$4.5=\log_33^{4.5}>\log_3140$
以上により, $4<\log_3140<4.5$
よって, $\log_3140$ の小数第 1 位以下を四捨五入すると $4$ となる.

$2=\log_525<\log_556<\log_5125=3$ より, $\log_556$ の整数部分は $2$ である.
また, $5^5<56^2$ より
$5^{2.5}<56$
$2.5=\log_55^{2.5}<\log_556$
以上により, $2.5<\log_556<3$
よって, $\log_556$ の小数第 1 位以下を四捨五入すると $3$ となる.