1960年　ニ次　数学1　幾何　[2]

弓形の弦の長さを $2a$ , 弧の長さを $2b$ , 弦の中点と弧の中点との距離を $h$ とするとき, 弓形の面積は
$\frac{a^2}{2h}(b-a)+\frac{h}{2}(b+a)$
で表わせることを証明せよ。

弧の長さが与えられているので, 扇形の面積の公式を使うのだろうと考えます.
扇形と言えども, 中心角が $\pi$ より大きいものがあることに注意.

円の中心を O, 円の半径を $r$ , 弦の両端を A, B, 弦の中点を M, 弧の中点を C とおく.
$OA=r$ , $OM=\|r-h\|$ , $AM=a$ , $OA^2=OM^2+AM^2$ より
$r^2=\|r-h\|^2+a^2$
$r=\frac{a^2+h^2}{2h}$ …(1)

扇形の中心角が $\pi$ 以下のとき,
弓形の面積 S は, 扇形OACB の面積から△OAB の面積を引いて
$S=\frac{1}{2}r\cdot 2b-\frac{1}{2}\cdot 2a(r-h)=(b-a)r+ah$

扇形の中心角が $\pi$ 以上のとき
弓形の面積 S は, 扇形OACB の面積と△OAB の面積を足して
$S=\frac{1}{2}r\cdot 2b+\frac{1}{2}\cdot 2a(h-r)=(b-a)r+ah$

結局, 弓形の面積 S は $(b-a)r+ah$ で, これに (1) を代入して
$S=\frac{a^2}{2h}(b-a)+\frac{h}{2}(b+a)$