1960年　ニ次　数学2　[1]

放物線 C が下の条件 (1), (2) を満たしながら動くとき, C の頂点のえがく図形を求めよ。
(1) C は放物線 $y=x^2$ を平行移動して得られる。
(2) C は放物線 $y=1-x^2$ に接する。

C の頂点を $(p,q)$ とおくと, (1) より C の方程式は $y=(x-p)^2+q$
(2) より, これが放物線 $y=1-x^2$ に接するから,
方程式 $(x-p)^2+q=1-x^2$ が重解をもつことが条件である.
整理すると $2x^2-2px+p^2+q-1=0$
判別式を $D$ とおくと $D/4=p^2-2(p^2+q-1)=-p^2-2q+2=0$
したがって, $q=-\frac{1}{2}p^2+1$
よって, C の頂点のえがく図形は, 放物線 $q=-\frac{1}{2}p^2+1$

進捗状況+2