1966年　ニ次　理科　[6](旧課程問題)

平面上で, 曲線 $x+y^2-5=0$ を, $x$ 軸に平行なある直線 $l_1$ に関して折り返し, さらに別の直線 $l_2$ に関して折り返せば, 曲線 $x^2-y+1=0$ に重なるという。直線 $l_1$ および $l_2$ の方程式を求めよ。

$l_1$ の方程式を $y=a$ とおく.
$l_1$ に関して折り返すとは, $y$ 座標が $a-Y$ である点の $y$ 座標を $a+Y$ に置き換えるということである。
$y=a+Y$ とおくと, $Y=-a+y$ であるから, すなわち $y$ 座標が $y$ である点の $y$ 座標を $a-(-a+y)=2a-y$ に置き換えるということである。
よって, 与えられた曲線を $l_1$ に関して折り返すと, 次の方程式ができる。
$x=-(2a-y)^2+5$ …(1)
さらに, $l_2$ : $y=mx+n$ に関して折り返したとき, 点 $(x,y)$ が点 $(X,Y)$ に移ったとして
$\frac{y+Y}{2}=m\frac{x+X}{2}+n$
$\frac{y-Y}{x-X}=-\frac{1}{m}$
が成り立つ。
これらより
$x=\frac{m}{m^2+1}\left(\frac{1-m^2}{m}X+2Y-2n\right)$
$y=\frac{1}{m^2+1}\{(m^2-1)Y+2mX+2n\}$
これらを (1) に代入して
$\frac{m}{m^2+1}\left(\frac{1-m^2}{m}X+2Y-2n\right)$
$=-\left[2a-\frac{1}{m^2+1}\{(m^2-1)Y+2mX+2n\}\right]^2+5$ …(2)
これが $Y=X^2+1$ と一致すればよい。
すると, (2) の右辺の $Y^2$ の係数は $0$ であるから $m^2=1$
これを改めて (2) に代入して整理すると
$m(Y-n)=-(2a-mX-n)^2+5$ …(3)
$Y$ と $X^2$ の係数を比較して $m=-m^2$
$m^2=1$ であることとあわせて $m=-1$
これを (3) に代入して整理すると
$Y=X^2+(4a-2n)X+4a^2+n^2-4an+n-5$
これが $Y=X^2+1$ と一致することより
$a=3$ , $n=6$
以上により
$l_1$ の方程式は $y=3$
$l_2$ の方程式は $y=-x+6$