1976年 二次 理科 [4](旧課程問題)
平面上に 3 つの円 A, B, C があって, それぞれ
A:
B:
C:
で表される.
この平面上の点 P から円 A, B, C に接線が引けるとき, P からそれらの接点までの距離をそれぞれ , , とする.
このとき
となる点 P の全体がつくる曲線を図示し, その長さを求めよ.
点 P と接点, 円の中心を結んでできる三角形は直角三角形なので P(x,y) とおくと三平方の定理より
よって, より
したがって, 点 P はこの方程式で表される円 D 上にある.
ただし, 円 A, B, C に接線が引けることから, 点 P は円 A, B, C の外部にある.
円 D と円 A の交点は
これらを E, F とおく.
また, 円とその中心を同じ記号で表すと
よって, 円 B, C は円 D の内部にあり, 円 D と共有点を持たない.
三角形 DEF は正三角形であるから, 求める長さは円 D の円周から弧 EF(短い方)を除いた部分で