1976年　二次　理科　[6](旧課程問題)

東大数学

a, b, c, d を実数として
f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d とおく.


(1) 方程式 f(x)=0 が 4 個の相異なる実数解をもつとき, 実数 k に対して, 方程式 f(x)+kf'(x)=0 の実数解の個数を求めよ.


(2) 2 つの方程式 f(x)=0, f''(x)=0 が 2 個の相異なる実数解を共有するとき, 曲線 y=f(x) は y 軸に平行なある直線に関して対象であることを示せ.


(1)
f(x)=0 が 4 個の異なる実数解をもつとき, 極値が 3 つあることから
f'(x)=0 は 3 個の異なる実数解 \alpha, \beta, \gamma(\alpha<\beta<\gamma) をもち
f(\alpha)<0, f(\beta)>0, f(\gamma)<0
f'(\alpha)=f'(\beta)=f'(\gamma)=0
よって, h(x)=f(x)+kf'(x) とおくと
h(\alpha)=f(\alpha)<0
h(\beta)=f(\beta)>0
h(\gamma)=f(\gamma)<0
\lim_{x\rightarrow \pm \infty}h(x)=\infty
ゆえに, h(x)=0 は区間
\{x|x<\alpha\}, [tex:\{x|\alpha