3項間漸化式によって定義される数列の一般項は、初等的に求めることができますが、各項が整数であっても、一般項を表す式の中に根号や虚数単位が含まれてしまうことがあり、それではあまり美しくありません。 そこで、根号や虚数単位を含まない形で一般項を…

昨日、とあるサイトで、n人でじゃんけんをしてあいこになる確率の求め方で、画期的なものを見つけました。 あいこになるというのは、要するにn人が勝ちと負けに分かれることの余事象なので、そちらの方を先に考えれば良いのです。 n人が勝ちと負けに分かれる…

今日は、アルツ磐梯スキー場に行ってきました。 昨日とは打って変わって晴れていて、とても滑りやすかったです。 その場でくるくる回る技ができるようになりました！

手の数が偶数種類のじゃんけんは上手いように定義できない、という話を前にしました。 例えば、AがBに勝つことをA→Bで表すことにすると、手の数が4種類のじゃんけんは のようになります。 この図では、AはBとCに、BはCとDに勝ちますが、CはDにだけ、DはAにだ…

昨日、福島の実家に帰ってきました。 当たり前のように雪が降っていました。 今日は、猫魔スキー場にスノーボードに行ってきました。

前に使っていた自作ブログにも書いたことですが。 ドラクエなどのRPGで、ある確率で貴重なアイテムを落とすモンスターがいたとします。 このとき、アイテムを落とす確率が1/nとして、モンスターをn匹倒すまでにアイテムをゲットできる確率は で表されます。 …

昨日、Mathematicaが届きました。 普通に買うと20万円とか、下手すれば40万円以上もするソフトですが、仕事柄、税込5万円以内で買うことができました。それはそれとして、早速インストールして使ってみたところ、これがすごいのです。 まずは、計算のスピー…

昨日までの経緯。〜じゃんけんの手の種類を2n+1に拡張する方法は(2n)!通りあると思い込んで証明できたと思ったら間違っていた〜そんなこんなで、じゃんけんの拡張についてあーだこーだ考えているうちに、未解決問題にぶちあたりました。まずは、手をr種類に…

少し前から、じゃんけんの拡張の可能性について考えていました。 具体的に言うと、手がグー、チョキー、パーの3種類ではなく、一般にr種類あるようなじゃんけんを上手いように作ることは可能なのかどうか、ということです。AがBに勝つことをA→Bで表すことに…

※結果をまとめたものをPDFファイルで公開しています。 手っ取り早く知りたい方はそちらへどうぞ。今日も、見かけは単純だけど考えてみると案外難しい問題です。 「n人でじゃんけんをしてあいこになる確率」は、どの程度になるのか。 経験的に言って、人数が…

前回の記事中にあった問題を一般化してみました。「n種類の異なるボールが入った袋からボールを取り出し袋に戻す操作をr回繰り返したとき、取り出したボールの種類がちょうどk種類になる場合の数はいくつか。」一見すると簡単そうです。しかし、実は難しいの…

ひょんなことから、次のような問題を考えました。 「n種類あるおまけのうち1つだけが等確率で入っているお菓子がある。お菓子をr個買って初めてn種類のおまけが全て揃う確率はいくつか。」 r=n、つまりn回目だったら簡単です。 です。 また、rが大きくなれば…

対数関数は の形で表されますが、前の記事でも書いた通り、底を変数にすることも可能です。 したがって、庭と真数の両方に変数を許すことによって という二変数関数を考えることができます。 このグラフは3次元空間上の2次元曲面になります。 そして、底をa…

対数関数とは のことです。 ただし、です。 では、 なる関数を考えると、このグラフはどのようになるのでしょうか。 それが、今日のお題です。 まず、定義域はです。また、です。 そして、底の変換公式を使うと となります。 というわけで、のグラフをもとに…

ドトールで、モーニングセットを食べました。330円。 セブンイレブンで、おにぎり2つと水を買いました。336円。 ジョナサンで、ビーフカレーを食べました。934円。 ローソンで、チロルチョコを買いました。21円。 そうして、財布の中に一円もない状態になっ…

フィボナッチ数列の一般項を無理数を使わずに表した際に、ガウス記号が出てきました。 ガウス記号というのはとのことで、これらで実数を挟むことにより、その実数以下の最大の整数を表す、というものです。 例えば は、nが偶数なら、nが奇数ならになります。…

ある特別な場合には、二次方程式が異なる二つの実数解をもつことを瞬時に判別できます。簡単のため、と仮定します。 すると、二次方程式 は、ならば異なる二つの実数解をもちます。考えてもみれば当たり前のことで、判別式 のは常に正なので、ならば、全体と…

今回は、フィボナッチ数列についての話です。 有名なので、ご存じの方も多いかと思われますが、一応説明しますと、フィボナッチ数列は で、定義されます。 この数列の一般項を表す式に無理数が現れるのも、また有名な話です。隣接三項間漸化式を解いてみれば…

最近、分割数というものにはまっています。分割数というのは、自然数をいくつかの自然数の和として表す場合の数のことです。例えば、4の分割は1, 1, 1, 1 1, 1, 2 1, 3 2, 2 4の5種類あります。たったこれだけのことなのですが、実は、自然数nが与えられたと…

はてなダイアリーでブログを書いてみようと思い立ちました。話題は、主に数学や科学に関すること。よろしくお願いします。