1970年の東大数学の問題を解いていたら, 約数の総積に関するものがありました。 総積というと明治時代の文豪の名前のようで聞きなれないようで何なのかとお思いの方もいらっしゃるかもしれませんが, 要するに全ての約数を掛け算した値のことですぷ。 ちょっ…

点 O を中心とする定円の円周上に 1 点 A を固定し, O とも A とも異なる点 P を半径 OA 上にとる。点 P を通り OA に垂直な弦の一端における円の接線が, OA の延長と交わる点を Q とする。 点 P が点 A に近づくときの の極限を求めよ。 ただし, , はそれぞ…

平面上で, 曲線 を, 軸に平行なある直線 に関して折り返し, さらに別の直線 に関して折り返せば, 曲線 に重なるという。直線 および の方程式を求めよ。

2 つの一次式 , に対して, が成り立つとき はどのような範囲にあるか。

こんにちは。こんにちは。 随分と久しぶりの更新です。 669問もあるのにその全てを解答つきでブログに掲載するのはかなりの根気と忍耐力が必要で、要するに挫折しました。 それでも、問題を解くことだけは毎日のように続けています。現在206/669問です。 さ…

次の□にあてはまる数は何か。 周期が 3 の周期関数 があって, そのグラフは切れめがない。また (i) では , では と書くことができる。 (ii) , である。 このとき (1)□, (2)□, (3)□, (4)□。

水平におかれた机に, 直角をはさむ 2 辺の長さがそれぞれ 9 cm, 12cm であるような直角三角形の穴をあけ, この穴に半径 5 cm の球をのせるとき, この球の机の表面より上にある部分の体積を求めよ。

放物線 の頂点と異なる 点における接線と法線（接点を通り, 接線に垂直な直線）が 軸と交わる点をそれぞれ P, Q とするとき, 線分 PQ の長さの最小値を求めよ。

1 辺 100 m の正方形の広場の 1 つの角に直立する高さ 60 m の棒があり, 地上 10 m の所から上だけ赤く塗ってある。この広場の 1 点から棒の赤い部分を見込む角を とするとき, であるような広場の部分の面積を求めよ。

放物線 C が下の条件 (1), (2) を満たしながら動くとき, C の頂点のえがく図形を求めよ。 (1) C は放物線 を平行移動して得られる。 (2) C は放物線 に接する。

弓形の弦の長さを , 弧の長さを , 弦の中点と弧の中点との距離を とするとき, 弓形の面積は で表わせることを証明せよ。

三角形 ABC の外心を O とし, 3 辺 BC, CA, AB に関して O と対称な 3 点をそれぞれ A', B', C' とするとき, 三角形 A'B'C' は三角形 ABC に合同であることを証明せよ。

ある家で今年の一月と二月の水道の使用水量と水道料金とは右の表の通りであった。その町の家庭用水道料金は 水道料金=基本料金+超過料金+メーター使用料 という式で計算される。 基本料金とは一定の使用水量 (A は整数) までに対して払う料金 120 円のことで…

三角形 ABC の辺 AB 上に点 P をとり, BP の中点を Q とする。次に, P, Q から BC に平行線を引いて AC との交点をそれぞれ R, S とする。台形 PQSR の面積が最大になるときの AP の長さと台形 PQSR の面積を求めよ。ただし辺 AB の長さを , 三角形 ABC の面…

次の□の中に下のイロハのうちの適当なものを記入せよ。 (1) [tex:0

次の□の中に適当な数を記入せよ。 三次式 が二次式 (ただし [tex:a

次の□の中に適当な数を記入せよ。 軸の正の部分に接する円が, 直線 に点 (4,(10)□) で接するならば, その円の中心の座標は ((11)□,(12)□) である。

次の□の中に適当な数を記入せよ。 , , が定数であるとき, , の式 の, 3 点 A(1,1), B(2,2), C(3,4) における値がすべて となるならば, (7)□, (8)□, (9)□ である。

次の□の中に適当な数を記入せよ。 三角形 ABC の辺 BC, CA, AB の中点をそれぞれ L, M, N, 直線 MN, NL, LM の方程式をそれぞれ , , とするとき, 3 点 L, B, C の座標はそれぞれ L((1)□,(2)□), M((3)□,(4)□), N((5)□,(6)□) である。

次の□の中に適当な整数を記入せよ。 の小数第 1 位以下を切り捨てると (17)□ となる。 の小数第 1 位以下を四捨五入すると (18)□ となる。 の小数第 1 位以下を四捨五入すると (19)□ となる。 の小数第 1 位以下を四捨五入すると (20)□ となる。 ただし , で…

次の□の中に適当な数を記入せよ。 円 と直線 で囲まれた弓形のうち, 大きい方を ACB とする。弧 ACB 上に 2 点 P, Q をとり, 線分 PQ を折り目として, 図のように弓形 PCQ を折り返し, 点 で弦 AB に接するようにすれば, 円 PDQ の中心の座標は ((13)□,(14)□…

次の (1), (2), (3), (4) において, A 欄の 2 式が共に成り立つために, B 欄の 2 式が共に成り立つことが 必要十分であるときは イ 必要であるが十分でないときは ロ 十分であるが必要でないときは ハ 必要でも十分でもないときは ニ を C 欄の□の中に記入せ…

次の□の中に適当な数を記入せよ。 を正の定数とし, 連立方程式 の解 , と, 連立方程式 の解 , との間に という関係があるならば, (5)□, (6)□, (7)□, (8)□である。

次の□の中に適当な数を記入せよ。 が不等式 を満たすあらゆる実数値をとるとき, 関数 , のとる値の範囲はそれぞれ不等式 (1)□(2)□, (3)□(4)□ で表される。

, 平面上の点 を P, 直線 を とする。 を含み 軸に垂直な平面上に, P を中点とし と をなす長さ の線分 AB をとり, A, B から 軸におろした垂線の足をそれぞれ C, D とする。ねじれ四辺形 ABDC を 軸のまわりに回転するときできる立体の体積を求めよ。

, を実の定数とするとき, 定積分 を求めよ。また を最小にする , の値を定めよ。

, は実の定数で, [tex:a0]) とすれば, が正の範囲を動くとき点 はどのような曲線をえがくか。それを図示せよ。

時刻 における点 P の位置 が次の方程式 (1), (2), (3), (4) によって与えられている。各場合について, が から まで変わるとき点 P のえがく軌跡を下の例にならって図示せよ。例 (1) (2) (3) (4)

△ABC の内部に △A'B'C' をとり, その 3 辺 A'B', B'C', C'A' はそれぞれ△ABC の 3 辺 AB, BC, CA に平行で, 対応する辺の間の距離はいずれも であるとする。△A'B'C' の周が △ABC の周の であるとき, を , , で表わせ。ただし , , とする。

2 つの円弧 と が弦 AB と同じ側にあって, いずれも半円より大きいとする。A を通る直線 が弧 , と交わる点をそれぞれ , とすれば, がどのような位置にあるとき線分 の長さが最大となるか。