を整数とする. 整式 が整数を係数とする 2 つの(正の次数の)整式の積に表されるような を求めよ. またそのような について を上のような積に分解せよ.

, , , を実数として とおく. (1) 方程式 が 4 個の相異なる実数解をもつとき, 実数 に対して, 方程式 の実数解の個数を求めよ. (2) 2 つの方程式 , が 2 個の相異なる実数解を共有するとき, 曲線 は 軸に平行なある直線に関して対象であることを示せ.

点 P は 平面の原点 O を時刻 に出発して, 軸上を正の向きに動く. 時刻 において, 軸, 曲線 , 軸, P を通って 軸に平行な直線で囲まれた図形の面積を とする. P が点 を通過するときの の変化率 は に等しいという. このとき を の式で表せ. ただし P の座標…

平面上に 3 つの円 A, B, C があって, それぞれ A: B: C: で表される. この平面上の点 P から円 A, B, C に接線が引けるとき, P からそれらの接点までの距離をそれぞれ , , とする. このとき となる点 P の全体がつくる曲線を図示し, その長さを求めよ.