「無矛盾な理論はモデルを持つ」という定理は、構文論から意味論への言い換えに過ぎないのではないかと思っていたのですが、色々と考えているうちに頭がこんがらかってきました。 ∃xφ(x)を付け加えるとω矛盾するが無矛盾な体系Tにおいて、定数cを加えてφ(c)…

確か小学生の頃だったと思うのですが、ある昔話を本で読みました。 その話の中にはどうしようもない貧乏の飲んだくれの男がいて、ひょんなことから善い行いをし、その褒美として美女に扮した神様だかに、いくらでも酒が出てくるとっくりをもらったのでした。…

PとNPが等しい、または等しくないという主張を形式化した文が体系に依存して構成されるものだとすると、P対NP問題を形式的体系内で解決することは難しいのではないかと思います。 ゲーデルの第二不完全性定理の証明に使われる証明可能性述語はまさに体系に依…

数学とは全く関係のない話ですが。 他人のことを理解しようと努めないで、すぐに人を嫌う人がいます。 しかし、いつも相手の身になって考える習慣ができていれば、怒りの感情は起きにくくなるものです。 また、そうすることが最終的には相手のためにも自分の…

チューリングマシンは可算無限個あり、しかも洩れなく列挙することが可能なので、各チューリングマシンに適当にナンバリングをすることができます。 要するに、ゲーデル数を割り当てることができます。 しかしながら、普通にコード化すると、ある自然数には…