1976年　二次　文科　[4](旧課程問題)

$a$ を整数とする.
整式 $f(x)=x^5-ax-1$ が整数を係数とする 2 つの(正の次数の)整式の積に表されるような $a$ を求めよ.
またそのような $a$ について $f(x)$ を上のような積に分解せよ.

(i) 1 次式と 4 次式の積で表されるとき
$(x+b)(x^4+cx^3+dx^2+ex+f)=x^5-ax-1$
左辺を展開して係数を比較すると
$b+c=0$
$bc+d=0$
$bd+e=0$
$be+f=-a$
$bf=-1$
$b$ , $f$ は整数であるから $b=\pm1$ で
$b=1$ のとき $(a,b,c,d,e,f)=(2,1,-1,1,-1,-1)$
$b=-1$ のとき $(a,b,c,d,e,f)=(0,-1,1,1,1,1)$

(ii) 2 次式と 3 次式の積で表されるとき
$(x^2+bx+c)(x^3+dx^2+ex+f)=x^5-ax-1$
左辺を展開して係数を比較すると
$b+d=0$
$bd+c+e=0$
$be+cd+f=0$
$bf+ce=-a$
$cf=-1$
$c$ , $f$ は整数であるから $c=\pm1$
$c=1$ のとき, $f=-1$ で
$b^3-2b-1=0$
$(b+1)(b^2-b-1)=0$
$b$ は整数であるから $b=-1$ で, このとき
$(a,b,c,d,e,f)=(-1,-1,1,1,0,-1)$
$c=-1$ のとき, $f=1$ で
$b^3+2b+1=0$
$b$ は整数であるから, 解なし.

以上により
$a=-1$ のとき $x^5+x-1=(x^2-x+1)(x^3+x^2-1)$
$a=0$ のとき $x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$
$a=2$ のとき $x^5-2x-1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x-1)$