集合の"大きさ"を比べるには, 二つの集合間の写像を考えると都合がよいのです. 例えば, 二つの集合間に全単射が存在すれば, 二つの集合の"大きさ"は等しいと考えることができます. というわけで, , の間に全単射が存在するとき とかき, 二つの集合は同じ濃度…

自然数に足し算, 掛け算, べき乗が定義できたように, 順序数にもそれらを定義することができます. ここで, 超眼再帰が大活躍します. 足し算 任意の順序数 について (i) . (ii) 任意の順序数 に対して . (iii) 任意の極限順序数 に対して . 足し算は二項演算…

前回, 超眼再帰についてよく分かっていなかったので, 勉強し直し, 不備を埋めてみました. 何か間違いがありましたら, 教えて頂けると助かります. 超眼再帰 クラス関数 に対して, あるクラス関数 が一意に存在して, 任意の について . ここで, は, 関数 の定…

ふと思い立って、次のような問題を作ってみました。 次の式を因数分解せよ。 因数分解の基本がちゃんと理解できていれば解ける問題です。 高校1年生の娘さんにいかがでしょうか＞数学科出身のお父さん 問題を出した途端に放棄されたら悲しいですが（＞＜） …

普通の数学における数学的帰納法や関数の再帰的定義は, その及ぶ範囲が自然数であることがほとんどです. 数学的帰納法は任意の自然数について述語が正しいことを証明する原理で, 再帰的定義は定義域が自然数全体の関数を再帰的に定義する場合によく用いられ…

集合 が推移的(transitive)であるとは, の要素が の部分集合になること. 例えば, に対し, かつ です. このような集合は普通の数学では普通は現れませんが, 集合論では大活躍することになります. 推移的であることを次のように言い換えることもできます. なら…

線形順序 が整列順序(well-ordered set)であるとは, の任意の空でない部分集合が最小元を持つこと. 整列順序は互いにその"長さ"を比較可能です. 順序数とも関係があります. 補題 が整列順序で が増加関数であるとき, 任意の について . 証明 なる が存在する…

集合 上の二項関係, すなわち の部分集合(ここでは で表す)は, 次の二つの条件を満たすとき, 半順序(partial ordering)であるといいます. (i) 任意の について (ii) [tex:pq] 関係 についても同じ用語が使われることがあり, 上記のものは特に区別する必要が…

置換の公理 とすれば は(真のクラスかもしれない)関数なので, と定義すれば, 置換の公理は が(真のクラスかもしれない)関数で が集合ならば, その像 も集合になる, という意味です. 集合 を関数 で移した先の全体は よりは大きくなり得ず, したがって集合で…

無限の公理 この を帰納的集合(inductive set)と呼びます. あとで述べる自然数の定義から, 帰納的集合は自然数全体の集合を含むことが分かります. 帰納的集合は無限集合ですが, 無限集合の概念はしっかりと定義する必要があります.

べき集合の公理 ここで, は の略記であると考えます. この を の部分集合と呼び, のとき, の真部分集合(proper subset)であると言います. 部分集合が集合であることは, 分出の公理によります. べき集合の公理は, 任意の集合 に対してその部分集合全体からな…

和集合の公理 任意の集合 に対し, その要素の全てが のある要素の要素であり, の要素の要素は全て持っているような集合 が存在する, というものです. 文章で書くと分かりにくいですね. このような集合を と書くことにし, の和集合と呼びます. 例えば のとき,…

分出の公理 は適当な論理式です. 集合 に対して, その要素で を満たすもの全てを集めた集合 が存在すると主張してます. この を と書くことにします. これも外延性の公理から一意に定まります. はパラメータです. パラメータはいくつでも増やすことができま…

対の公理 任意の集合 に対し, 要素が であるか であるかのいずれかであるような集合 が存在すると言ってます. 外延性の公理から, そのような集合は一意に定まり, これを と書くことにします. ちなみに なる集合は, 単に と書き, これを単集合(singleton)と言…

外延性の公理 の任意の要素が の要素であり, の任意の要素が の要素であるとき, と は集合として等しいことを意味するものです. つまり, 集合というものはその要素によってのみ特徴づけられることを要請するものです. ちなみに, 上の逆 は, 一階述語論理の公…

強制法を理解できないことの一因は、集合論の基礎をろくに理解していないことだと気付いたので、基礎をしっかり勉強し直すことにしました。 しかし、一人で本を読んでいるだけだとどうしても妥協してしまいがちなので、Jechの「Set Theory」を読んで証明を理…

Jechの「Set Theory」で かつ ならば であることの証明を読んだのですが、何だか技巧的だなぁと感じました。 もしかしたら自分の直感が足りないだけで、慣れればごく自然な証明だと認識できるようになるのかもしれませんが。 もっと直接的な証明はないもので…

高校数学の勉強と、集合論の勉強を並行して行うことが多いのですが、つくづく、脳みその中の使う部位が全然違うなーと感じます。 そんなわけで、高校数学の勉強に疲れたら集合論の勉強をし、集合論の勉強に疲れたら高校数学の勉強をする、ということをしてい…

今の仕事に就いて、早4年目となりました。 1年目は、「何を教えるか」を考えました。 しかし、いくら教えたところで、身につかなかったら意味がないのです。 そこで、2年目は、「どう教えるか」を考えました。 要点さえ抑えれば、そうそう多くのことを教えな…

これから数十年もすれば、食料の生産と流通にかかるコストがほとんど0になり、先進国の多くの人達は働かなくても、ただ食べて寝るだけの生活は送ることができるようになると思う。 だから、年金の額が多少減っても大丈夫。

ネット上の色々なところで「この世界は矛盾している」云々の件を目にしますが、そもそも「世界が矛盾している」って、どういう意味なんでしょ。 「この世界のある側面に対する人間の解釈を論理に落とし込んだ際に相反する2つの矛盾した結論が得られる」とい…

SとMとLは、読むとどれも「エ」から始まる上、終わりは「ス」「ム」「ル」と、全て「う段」になっているので、非常に紛らわしい。 ドトールで店員さんにドリンクのサイズを言うと、しょっちゅう聞き間違えられて困っちゃう。

強制法が、いまだに理解できません。 うーん、困った。 自分、才能がないのかもしれません。

ニンテンドーDSみたいに、パソコンもタッチパネルになればいいのに。

教員免許状というのは、一般には大学の教職課程で所定の科目を履修し修めたことを証明する、いわゆる単位修得証明書のようなものなのだから、それを更新することそれ自体には全く意味がないと思う。 誰が大学の単位修得証明書を更新制にしなければならないな…