探し物は何ですか

「無矛盾な理論はモデルを持つ」という定理は、構文論から意味論への言い換えに過ぎないのではないかと思っていたのですが、色々と考えているうちに頭がこんがらかってきました。
∃xφ(x)を付け加えるとω矛盾するが無矛盾な体系Tにおいて、定数cを加えてφ(c)が成り立つようにすることができるわけですが、そこでのこのcの扱われ方がよく分かりません。
このcはどの自然数とも等しいということを証明できない、つまり1、2、3…という列から決して得られないわけなので、体系内の住人はcをどう認識するのか（比喩です）。
cが存在することを信じながらもcを具体的に目にすることができないような状態なのでしょうか。この世界における神様のように。
そうだとすれば、やはり、「無矛盾な理論はモデルを持つ」という定理は、構文論から意味論への言い換えに過ぎないように思えてきます。