恥も外分もない - イガブロギュ

恥ずかしながら、今日になってやっと、外分の意味を理解することができました。
うわー、恥ずかしいー。
線分 AB の外分点は、線分 AB の内分点の概念を拡張したものです。
簡単のため、数直線上で A は B の左側にあるものとします。
ここで、点 P が線分 AB を m:n に内分するとは、点 P が線分 AB の「内側」にあって、AP:PB = m:n となっていることです。
このことから、P を線分 AB の外側に取るとどうなるかと考えを進めることができ、
点 P が線分 AB を m:n に外分するとは、点 P が線分 AB の「外側」にあって、AP:PB = m:n となっていること、と定義できます。
m > n のとき、P を A の左側に取ることは不可能です。
対して、B の右側には、AP:PB = m:n となるような点 P を必ず取ることができます。(*)
m < n のときも左右が逆になるだけで同様。
さて、(*) は大事です。これが成り立たないと、外分する際の比を自由に定めることができませんので。
(*) を証明するには、m/n が 1 より大きい任意の実数の値を取ることから、
AB = a としたとき、任意の実数 x に対してある実数 y が存在して y/(y-a)=x
を証明すれば良いのです。
ここで、AP:PB = m:n = y:y-a かつ y > a です（図がないと分かりにくいですね）。
$\frac{y}{y-a}=1+\frac{a}{y-a}$
これは y > a の区間で連続であって、
$\lim_{y \rightarrow a}1+\frac{a}{y-a}=\infty$
$\lim_{y \rightarrow \infty}1+\frac{a}{y-a}=1$
なので、(*) が成り立つことが分かります。
厳密に証明しようとすると、連続性や極限の概念が必要になるのです。
いやはや、面白いですね。
何はともれ、めでたし。