1959年　一次　理科・衛生看護学科　[3]

東大数学

次の□の中に適当な数を記入せよ。
3 つの円 A, B, C がある。円の A の中心は \left(0,\frac{1}{2}\right), 半径は \frac{1}{2} である。円 B は A に接し, かつ x 軸に点 \left(\frac{1}{2},0\right) で接する。また円 C は A, B および x 軸と図のように接している。このとき B の半径は (9)□, C の半径は (10)□で, C が x 軸と接する点の x 座標は (11)□である。



この手の問題は三平方の定理を使うと相場が決まっています.



円 A, B, C の中心をそれぞれ A, B, C,
円 B, C の半径をそれぞれ r, s,
円 C と x 軸との接点の x 座標を t とおく.


三平方の定理より
AB^2=\left(\frac{1}{2}+r\right)^2=\left(\frac{1}{2}-r\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2
よって
r=\frac{1}{8}


三平方の定理より
BC^2=\left(\frac{1}{8}+s\right)^2=\left(\frac{1}{8}-s\right)^2+\left(\frac{1}{2}-t\right)^2
よって
s=2\left(\frac{1}{2}-t\right)^2…(1)


三平方の定理より
AC^2=\left(\frac{1}{2}+s\right)^2=\left(\frac{1}{2}-s\right)^2+t^2
よって
s=\frac{1}{2}t^2…(2)


(1), (2) より
2\left(\frac{1}{2}-t\right)^2=\frac{1}{2}t^2
(3t-1)(t-1)=0
t<\frac{1}{2} より t=\frac{1}{3}
これと (2) より
s=\frac{1}{18}