モンスターがアイテムを落とす確率

前に使っていた自作ブログにも書いたことですが。
ドラクエなどのRPGで、ある確率で貴重なアイテムを落とすモンスターがいたとします。
このとき、アイテムを落とす確率が1/nとして、モンスターをn匹倒すまでにアイテムをゲットできる確率は
$1-(1-\frac{1}{n})^n$
で表されます。
んで、nを無限大に近づけると、これは
$1-\frac{1}{e}$
に収束します。
何故かというと
$\lim_{n \rightarrow \infty}1-(1-\frac{1}{n})^n$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}1-\{(1-\frac{1}{n})^{-n}\}^{-1}$
で、
$\lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{1}{n})^{-n}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{n-1}{n})^{-n}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{n}{n-1})^{n}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n-1})^{n}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}(1+\frac{1}{n-1})$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n-1})$
$=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}$
$=e$
なので、
$\lim_{n \rightarrow \infty}1-\{(1-\frac{1}{n})^{-n}\}^{-1}$
$=1-\frac{1}{e}$
となるからです。
それならば、どれくらいのスピードで収束するのか。気になりますね。
そこで、Mathematicaで実験してみました！
とりあえず、n=1から20までのグラフを書いてみたところ

と、なりました。
あらっ。ほとんど横ばい。かなりの収束の速さです。
グラフを見ると分かる通り、n=10くらいから先は、ほとんど変化しません。
$1-\frac{1}{e}$ は大体0.63なので、アイテムを落とす確率が1/10よりも小さいモンスターについてならば、確率分だけ倒してアイテムをゲットできる確率は0.63と考えて何の不都合も生じない、ということになります。
例えば、アイテムを落とす確率が1/16だったら、16匹倒すまでにアイテムを落とす確率は63パーセントだし、アイテムを落とす確率が1/256だったら、256匹倒すまでにアイテムを落とす確率は63パーセント、として良いのです。
おー。これは、なかなかいい指標になりますね。
では、モンスターを何匹倒せば、どれくらいの確率でアイテムをゲットできるのでしょうか。
これは簡単で、例えば2n匹倒したとすると
$1-(1-\frac{1}{n})^{2n}$
$=1-((1-\frac{1}{n})^{-n})^{-2}$
となり、これは大体
$1-\frac{1}{e^2}$
として良いので、計算すると、0.86くらいになります。86パーセント。
3n匹倒したとすると、同様に
$1-\frac{1}{e^3}$
として良いので、計算すると、0.95くらいになります。95パーセント。
だから、例えば、アイテムを落とす確率が1/256だったら、768匹くらい倒せば、かなりの高確率でアイテムをゲットできるということが言えます。
頑張る気が起きますね。
高校数学は、このように、RPGをプレーする上でも役に立つのでした。