定数係数線形差分方程式の解の公式（完全版）

とりあえず、結果だけを先に公開しておきます。
特性方程式を解く必要がないところがポイント。
実用性は全くありませんが。

隣接 r+1 項間漸化式によって定義される数列 $\{f_n\}$ の特性方程式が
$x^r - e_1 x^{r-1} + e_2 x^{r-2} - \cdots + (-1)^r e_r = \sum_{i=0}^{r} (-1)^i e_i x^{r-i}$
で表されるものとする。
このとき、数列 $\{f_n\}$ の一般項は
$\sum_{i=1}^r f_i \sum \left\{ (-1)^{n+i+\sum_{\lambda=1}^r p_\lambda}\sum_{j=1}^r H(i+j-r-1) \frac{\displaystyle \left(\sum_{k=1}^r p_k - 1\right)!}{\displaystyle \prod_{k=1}^r p_k!} p_j \right\} \prod_{\lambda=1}^r e_{\lambda}^{p_{\lambda}}$
で、表される。
ただし、二つ目のシグマは
$\sum_{\lambda=1}^r \lambda p_{\lambda} = n-i$
$\sum_{\lambda=1}^{r-i} \lambda p_{\lambda} < n-i$
を満たす $n-i$ の全ての分割 $(p_1,p_2,p_3,\cdots)$ を渡るものとする。
$H(x)$ はヘビサイド関数を表す。
すなわち
$H(x) = \left\{\begin{array}{ll}1 & (x \geq 0) \\ 0 & (x < 0)\end{array}\right.$
である。
それから、 $i = 0$ 、 $i > r$ については $e_i = 0$ と定義しちゃう。

これから、スノーボードに行ってきます。
公式についての解説は後日。
ぶへへ。