定数係数線形差分方程式の解を行列式で表してみた

頑張って、次の結果を得ました。

隣接 r+1 項間漸化式によって定義される数列 $\{f_n\}$ の特性方程式が
$x^r - e_1 x^{r-1} + e_2 x^{r-2} - \cdots + (-1)^r e_r = \sum_{i=0}^{r} (-1)^i e_i x^{r-i}$
で表されるものとする。
このとき、数列 $\{f_n\}$ の一般項は
$f_n = \sum_{i=1}^r (-1)^{r+i} f_i \sum_{j=1}^i {}_{r-i+j-1}C_{r-i} P(n-i,r,r-i+j)$
で与えられる。
ここに、 $P(n,r,k)$ は次の形の行列式の値である。
$\left|\begin{array}{cccccccccccc}{}_k C_k e_k & 1 & & & & & & & & & & \text{\huge{0}} \\ {}_{k+1} C_k e_{k+1} & e_1 & 1 \\ {}_{k+2} C_k e_{k+2} & e_2 & e_1 & 1 \\ {}_{k+3} C_k e_{k+3} & e_3 & e_2 & e_1 \\ \vdots \\ {}_r C_k e_r & \vdots & \vdots & \vdots & & & \ddots & \\ & & & & & & \ddots \\ & e_r & e_{r-1} & e_{r-2} \\ & & e_r & e_{r-1} & & & & & & 1 \\ & & & e_r & & & & & & e_1 & 1 \\ & & & & \ddots & & & & & e_2 & e_1 & 1 \\ \text{\huge{0}} & & & & & e_r & & \cdots & & e_3 & e_2 & e_1\end{array}\right|$

多分、合っていると思います。確認はあと回し。
次の目標は、行列式の値を具体的に式で表すこと。
…誰も興味がないかもしれませんけど。