13日の金曜日は毎年必ずあるのか

一昨日は、13日の金曜日でした。
13日の金曜日と言えば、何だか毎年必ずあるような気がします。
というわけで、数学的に検証してみましょう。

まず、13日の金曜日があるということは、15日の日曜日があるということです。
したがって、1日の日曜日があるということなので、1日が日曜日になる月が毎年必ずあるのかどうかという問題に言い換えることができます。

日曜から土曜までを 0〜6 の数字で表すことにし、1月1日を x 曜日とします。
それから、自然数 n を 7 で割った余りを
n%7
で表すことにします。
うるう年でなければ、1月から12月までの各月の日数は
31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31
ですので、例えば2月1日の曜日は x に1月の日数の 31 を足して 7 で割った余り、つまり
(x+31)%7 = (x+3)%7
となります。
よって、例えば1月1日が月曜日、つまり 1 なら、2月1日は (1+3)%7 = 4 で木曜日になる、というわけです。
ちょっと面倒なので、以後、%7 の部分は省略して書くことにします。ついでに、+x も省略します。
さて、3月以降についても同様に計算していくと、1月から順に
0, 3, 3, 6, 1, 4, 6, 2, 5, 0, 3, 5
となります。
これを見てみると、7 で割った余りの数の 0〜6 が全て現れていることが分かります。
したがって、1日の曜日は日から土までの全てが揃っていることが分かります。
うるう年についても同様です。
以上により、13日の金曜日は毎年必ずあるということが証明できました。

ここでの話を一般化すると、1日から28日まで、何日であっても、毎年全ての曜日を渡るということが言えます。
例えば、20日の月曜日は毎年必ずありますし、20日の他の曜日も毎年必ずある、ということです。
いやはや、暦とは上手くできているものですね。
曜日も考慮した上で作られたものなのでしょうか。