斜め180度は除く - イガブロギュ

前回の話の続きです。
$y=ax^2$ のグラフを、原点を中心として正の方向に $\theta$ だけ回転させたグラフを表す方程式は
$y=\sin \theta \left(\frac{\cos \theta \pm \sqrt{\cos^2 \theta-(4a \sin \theta)x}}{2a \sin \theta} \right)+a \cos \theta \left(\frac{\cos \theta \pm \sqrt{\cos^2 \theta-(4a \sin \theta)x}}{2a \sin \theta} \right)^2$ …(1)
で表される、というのが、前回の結論でした。
ところで、一般に二次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフを適当に回転させたグラフを表す方程式は
$y=a'x+b' \pm \sqrt{c'x+d'}$ …(2)
で表される、というのが、中学三年生の私が予想したものでした。
今回は、この予想が正しいことを証明してみます。
まず、(1)を頑張って変形すると
$y=-\frac{1}{\tan \theta}x+\frac{1}{2a \sin \theta \tan \theta}\pm\sqrt{-\frac{1}{a \sin^3 \theta}x+\left(\frac{1}{2a \sin \theta \tan \theta}\right)^2}$
となります。
ただし、これは $y=ax^2$ のグラフを単純に回転させたものなので、その位置も考慮して、 $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものを考えてみると
$y=-\frac{1}{\tan \theta}x+\frac{1}{2a \sin \theta \tan \theta}+\frac{p}{\tan \theta}+q\pm\sqrt{-\frac{1}{a \sin^3 \theta}x+\left(\frac{1}{2a \sin \theta \tan \theta}\right)^2+\frac{p}{a \sin^3 \theta}}$ …(3)
という式が得られます。
これと (2) の係数を比較して
$a'=-\frac{1}{\tan \theta}$
$b'=\frac{1}{2a \sin \theta \tan \theta}+\frac{p}{\tan \theta}+q$
$c'=-\frac{1}{a \sin^3 \theta}$
$d'=\left(\frac{1}{2a \sin \theta \tan \theta}\right)^2+\frac{p}{a \sin^3 \theta}$
を満たすように各定数の値を定められないかと考えます。
(2) が最初に与えられているとすると、まずは $a'$ から $\theta$ が定まります。
次に、 $c'$ と $\theta$ から $a$ が定まり、さらに、 $d'$ と $\theta, a$ から $p$ が定まります。
そして最後に、 $b'$ と $\theta, a, p$ から $q$ が定まります。
逆に、(3) が最初に与えられていたとしても、同様の方法によって $a',b',c',d'$ が一意に定まることが分かります。
細かいことを言うと、(3) に現れる分数の分母が $0$ であってはいけないので、 $\tan \theta \sin \theta \neq 0$ という条件がありますが、 $\tan \theta \sin \theta = 0$ なら、これは $\theta = \frac{n\pi}{2}$ の場合に相当し、つまりは通常の放物線と $a'=0$ とした $y=b'+\sqrt{c'x+d'}$ のどちらかなので、まあ問題ありません。
以上をまとめると、次のようになります。