べき集合の公理(Power Set)

べき集合の公理
$\forall X \exists Y \forall u(u \in Y \leftrightarrow u \subset X)$

ここで, $U \subset X$ は $\forall z(z \in U \rightarrow z \in X)$ の略記であると考えます.
この $U$ を $X$ の部分集合と呼び, $U \neq X$ のとき, $X$ の真部分集合(proper subset)であると言います.
部分集合が集合であることは, 分出の公理によります.
べき集合の公理は, 任意の集合 $X$ に対してその部分集合全体からなる集合 $Y$ が存在すると主張しています.
この $Y$ を $X$ のべき集合(power set)と呼び, $P(x)$ で表します.
べき集合の公理を使うと, 色々な概念を定式化することができるようになります.

集合 $X,Y$ の直積(product)は $X$ の要素と $Y$ の要素を順に並べた順序対全体からなる集合で, 次のように定義されます.
$X \times Y = \{(x,y):x \in X \wedge y \in Y\}$
3つ以上の集合についても同様に定義され, 特に集合 $X$ の $n$ 個の直積は, 次のように定義されます.
$X^n = \underbrace{X \times \cdots \times X}_{n \rm{times}}$
直積が集合になることは
$X \times Y \subset P(P(X \cup Y))$
であることから保証されます.
例えば $X=\{a\}$ , $Y=\{b\}$ としたとき,
$X \cup Y = \{a,b\}$
$P(X \cup Y) = \{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$
なので,
$\{\{\{a\},\{a,b\}\}\} \subset P(P(x \cup Y)$
となり, 順序対 $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ からなる集合 $X \times Y = \{(a,b)\}$ が確かに $P(P(X \cup Y))$ の部分集合になっていることが確かめられます.
厳密には証明が必要です.

次に, 直積を用いて集合の関係を定義します.
しかし, 集合論で扱える対象は集合のみなので, 関係という概念もまた集合を使って表現しなければなりません.
今, じゃんけんについて考えてみます.
簡単のため, グー, チョキ, パーのそれぞれを $a,b,c$ で表すことにします.
ここで, $x$ が $y$ より強いことを $(x,y)$ で表すことにすると, じゃんけんにおける強弱関係は
$\{(a,b),(b,c),(c,a)$
によって表現することができます.
つまり, 何らかの関係を表現するためには, 適当な順序対からなる集合を考えればよいわけです.
そんなわけで, 集合 $R$ が二項関係であるとは, $R$ の任意の要素が順序対であることと定義します.
順序対ではなく, 順序を考慮した $n$ 個の集合についても同様に定義できます.
$n$ 項関係 $R$ が $X$ 上の関係であるとは, $R \subset X^n$ となることです.
$(x_1,\cdots,x_n) \in R$ の代わりに $R(x_1,\cdots,x_n)$ などと書いたりもします.
$R$ が二項関係の場合, $(x,y) \in R$ を $x R y$ で表すこともあります.
これは $3>5$ などと書くのと同じようなことです.
二項関係 $R$ の定義域(domain) $\rm{dom}(R)$ と値域(range) $\rm{ran}(R)$ は次のように定義されます.
$\rm{dom}(R) = \{u:\exists v (u,v) \in R\}$
$\rm{ran}(R) = \{v:\exists u (u,v) \in R\}$
これらが集合になることは, ともに $\bigcup \bigcup R$ の部分集合であることから分かります.

関数の概念も同様に定義できます.
$f(x)=y$ であることを $(x,y)$ で表現すればよいのです.
したがって, 関数は二項関係の一種だと考えることができます.
ただし, 二項関係 $f$ が関数であるとは
$(x,y) \in f$ かつ $(x,z) \in f$ ならば $y=z$
が成り立っているとき, かつそのときに限ります.
$f$ が $X$ 上の関数であるとは, $\rm{dom}(f) = X$ であることとし,
$f$ が $X$ 上の $n$ 項関数であるとは, $\rm{dom}(f) = X^n$ であることとします.
$f$ が $X$ から $Y$ への関数であるとは, $\rm{dom}(f) = X$ かつ $\rm{ran}(f) \subset Y$ であることです.
$X$ から $Y$ への関数全体を $Y^X$ で表します.
$Y^X \subset P(X \times Y)$ であることから, $Y^X$ は集合です.
$f$ が $X$ 上の $n$ 項演算であるとは, $f$ が $X^n$ から $X$ への関数であることとします.

Jechの「Set Theory」には他にも色々書いてありますが, 段々と面倒になってきたので省略します.