線形順序 が整列順序(well-ordered set)であるとは, の任意の空でない部分集合が最小元を持つこと. 整列順序は互いにその"長さ"を比較可能です. 順序数とも関係があります. 補題 が整列順序で が増加関数であるとき, 任意の について . 証明 なる が存在する…

集合 上の二項関係, すなわち の部分集合(ここでは で表す)は, 次の二つの条件を満たすとき, 半順序(partial ordering)であるといいます. (i) 任意の について (ii) [tex:pq] 関係 についても同じ用語が使われることがあり, 上記のものは特に区別する必要が…

置換の公理 とすれば は(真のクラスかもしれない)関数なので, と定義すれば, 置換の公理は が(真のクラスかもしれない)関数で が集合ならば, その像 も集合になる, という意味です. 集合 を関数 で移した先の全体は よりは大きくなり得ず, したがって集合で…

無限の公理 この を帰納的集合(inductive set)と呼びます. あとで述べる自然数の定義から, 帰納的集合は自然数全体の集合を含むことが分かります. 帰納的集合は無限集合ですが, 無限集合の概念はしっかりと定義する必要があります.

べき集合の公理 ここで, は の略記であると考えます. この を の部分集合と呼び, のとき, の真部分集合(proper subset)であると言います. 部分集合が集合であることは, 分出の公理によります. べき集合の公理は, 任意の集合 に対してその部分集合全体からな…

和集合の公理 任意の集合 に対し, その要素の全てが のある要素の要素であり, の要素の要素は全て持っているような集合 が存在する, というものです. 文章で書くと分かりにくいですね. このような集合を と書くことにし, の和集合と呼びます. 例えば のとき,…