和集合の公理(Union) - イガブロギュ

和集合の公理
$\forall X \exists Y \forall u(u \in Y \leftrightarrow \exists z(u \in z \in X))$

任意の集合 $X$ に対し, その要素の全てが $X$ のある要素の要素であり, $X$ の要素の要素は全て持っているような集合 $Y$ が存在する, というものです.
文章で書くと分かりにくいですね.
このような集合を $\bigcup X$ と書くことにし, $X$ の和集合と呼びます.
例えば $X=\{\{a,b\},\{c,d\}\}$ のとき, $\bigcup X=\{a,b,c,d\}$ です.
1つの袋の中にたくさんの袋が入っており, たくさんの袋の中にはボールが入っているという状況で, 中の袋からボールを全て取り出し, 中の袋を捨て去ったようなイメージです.
ここで, $X \cup Y = \bigcup\{X,Y\}$ , $\{a,b,c\} = \{a,b\}\cup\{c\}$ などと定義します.
集合が増えても同様です.
二つの集合の対称差(symmetric difference)は次のように定義されます.
$X \bigtriangleup Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)$
これは $(X \cup Y) \setminus (X \cap Y)$ と同じものです.