順序 - イガブロギュ

集合 $P$ 上の二項関係, すなわち $P \times P$ の部分集合(ここでは $<$ で表す)は, 次の二つの条件を満たすとき, 半順序(partial ordering)であるといいます.
(i) 任意の $p \in P$ について $\neg(p < p)$
(ii) [tex:pq]
関係 $\leq$ についても同じ用語が使われることがあり, 上記のものは特に区別する必要があるときは strict であると表現します.

半順序 $(P,<)$ , $X \subset P$ ( $X \neq \emptyset$ ), $a \in P$ に対して, 用語を次のように定義します.
$a$ が $X$ の極大元(maximal element)であるとは, $a \in X$ かつ任意の $x \in X$ について $\neg(a < x)$ となること.
$a$ が $X$ の極小元(minimal element)であるとは, $a \in X$ かつ任意の $x \in X$ について $\neg(a > x)$ となること.
$a$ が $X$ の最大元(greatest element)であるとは, $a \in X$ かつ任意の $x \in X$ について $x \leq a$ となること.
$a$ が $X$ の最小元(least element)であるとは, $a \in X$ かつ任意の $x \in X$ について $x \geq a$ となること.
$a$ が $X$ の上界(upper bound)であるとは, 任意の $x \in X$ について $x \leq a$ となること.
$a$ が $X$ の下界(lower bound)であるとは, 任意の $x \in X$ について $x \geq a$ となること.
$a$ が $X$ の上限(supremum)であるとは, $a$ が $X$ の最小の上界であること.
$a$ が $X$ の下限(infimum)であるとは, $a$ が $X$ の最大の下界であること.
$X$ の上限や下限は, もし存在するならば, それぞれ $\rm{sup}X$ , $\rm{inf}X$ で表されます.
$X$ が全順序であれば極大元は最大元に一致し, 極小元は最小元に一致します.
半順序 $(P,<)$ , $(Q,<)$ と関数 $f:P \rightarrow Q$ に対し
[tex:x