アレフ - イガブロギュ

順序数 $\alpha$ が, それより小さい任意の順序数との間に全単射をもたないとき, $\alpha$ を基数(cardinal number)と呼びます.
集合 $W$ が整列順序のとき, その間に全単射が存在する順序数が存在します.
そこで, 整列順序 $W$ の濃度 $|W|$ を, 全単射が存在する最小の順序数(=基数), と定義します(ここで, 順序数の集合が整列順序であることが効いています).
選択公理を仮定すれば全ての集合は整列順序づけられるので, 全ての集合に対してその濃度である基数を割り当てることができるのです.
任意の無限基数は極限順序数です.
実際, 後続基数であるならば, その一つ前の順序数との間に全単射をつくることができます.
無限基数はしばしば記号 $\aleph$ (アレフ)を使って表されます.

補題
任意の順序数 $\alpha$ に対して, それより大きい基数が存在する.

証明
選択公理を用いると簡単です.
任意の集合 $A$ について, $P(A)$ への単射が存在する一方で全単射が存在しないことから
$|A| < |P(A)|$ (これはあくまでも, 単射は存在するが全射が存在しないことの意).
それぞれの濃度を $\kappa$ , $\lambda$ とすれば
$\kappa < \lambda$
です.
選択公理を使わなくても証明できます.
そのために, 各集合 $A$ に対し, その hartogs number というものを次で定義します.
$h(A)$ : $A$ の任意の部分集合との間に全単射が存在しない最小の順序数.
すると, 任意の順序数 $\alpha$ について, $|\alpha| < |h(\alpha)|$ なので, 上と同じ.
というわけで, $h(A)$ が確かに存在し, 順序数であることを証明すればよろし.
まず, 整列順序づけられる全ての関係 $R \in P(A \times A)$ について, その順序型(全単射が存在する順序数)全てを集めた集合 $H$ を考えます.
(置換の公理により, その存在が保証されます.)
この $H$ が, $A$ の任意の整列順序づけられる部分集合の順序型をその要素としてもつことをみます.
$f$ を $\alpha$ から $A$ へのある単射とします.
つまり, $\alpha$ から $\rm{ran}f \subset A$ への全単射です.
$W = \rm{ran}f$ , $R = \{(f(\beta),f(\gamma))|\beta < \gamma < \alpha\}$ とおけば, $(W,R)$ は $\alpha$ と同型な整列順序です.
また, 任意の $\alpha \in h(A)$ と任意の $\beta < \alpha$ について $\beta \in h(A)$ なので, $h(A)$ は推移的かつ $\in$ による整列順序なので順序数なのであります.

この補題によって存在が示された $\alpha$ より大きい最小の基数を $\alpha^+$ で表します.
任意の基数について, その次に大きい基数が存在することが分かりますね.

補題
基数の集合 $X$ について, $\sup{X}$ は基数.

証明
$\alpha = \sup{X}$ とおき, ある $\beta < \alpha$ について, $\alpha$ から $\beta$ への全単射 $f$ が存在すると仮定します.
このとき, $\kappa \in X$ で $\beta < \kappa \leq \alpha$ なるものを任意に取ります.
すると, $f$ が単射であることにより
$\kappa = |\kappa| = |\{\xi : \xi < \kappa\}| = |\{f(\xi) : \xi < \kappa\}| \leq |\{f(\xi) : \xi < \alpha\}| = |\beta| = \beta$ .
つまり, $\kappa \leq \beta$ となって, $\kappa > \beta$ であることと矛盾しますよ.

これらの補題を用いると, $\aleph$ の増加列を作ることができます.
$\alpha$ 番目の基数を $\aleph_{\alpha$ とかき, 順序数であることを強調したい場合には $\omega_{\alpha}$ とかきます.

$\aleph_0 = \omega_0 = \omega$
$\aleph_{\alpha + 1} = \omega_{\alpha + 1} = \aleph_{\alpha}^+$
$\aleph_{\alpha} = \omega_{\alpha} = \sup{\{\omega_{\beta}:\beta < \alpha\}}$ ( $\alpha$ が極限順序数のとき)

$\aleph_{\alpha+1}$ を後続基数と呼び, そうでないものを極限基数と呼びます.
無限基数は全て極限順序数ですが, その中にも後続と極限があるのです.