とっても大きい到達不能基数ちゃん

非可算正則極限基数（弱到達不能基数）がどれだけ大きいのか考えているうちに, 疑問が起こりました.
ZFC において, 非可算正則極限基数は(もし存在するならば)共終数が $\omega$ である任意の基数よりも大きい, という言明は成り立つのでしょうか.
とりあえず, 次のことは証明してみました.

ホダイ
極限基数 $\kappa > \lambda$ で, $\rm{cf}(\kappa) < \rm{cf}(\lambda)$ であるようなものが存在する.
ショウメイ
$\aleph_{\aleph_{\omega+1}} < \aleph_{\aleph_{\omega+\omega}}$ であるが,
(i) 無限基数は極限順序数である.
ということから, 添え字が無限基数であるこの二つは極限基数であり, また,
(ii) $\alpha$ が極限順序数のとき, $\rm{cf}(\aleph_{\alpha}) = \rm{cf}(\alpha)$ .
であることにも注意し, それぞれの共終数を計算すると
$\rm{cf}(\aleph_{\aleph_{\omega+1}}) = \rm{cf}(\aleph_{\omega+1}) = \aleph_{\omega+1}$ (ZFC において後続基数は正則であることによる),
$\rm{cf}(\aleph_{\aleph_{\omega+\omega}}) = \rm{cf}(\aleph_{\omega+\omega}) = \omega$
となる.

このショウメイ, 合っているでしょうか.
最初の疑問を解消するため,
$\rm{cf}(\kappa) > \rm{cf}(\lambda)$ ならば $\kappa > \lambda$
ということを証明したかったのですが, 反対の結論が得られてしまいました.
ただ, 疑問の根柢には「共終数が $\omega$ である」という条件がありますので, 別のアプローチを考え中です.