因数分解の問題の解答 - イガブロギュ

以前にこのブログに載せた二つの因数分解の問題の解答を載せておきます。

問題1
$5x^2+12y^2+21z^2+16xy+32yz+22zx+28x+40y+52z+32$
これは各文字について2次式になっています。
こういう場合は、適当な文字について整理するのが定石。
さらに、x について整理してから y について整理すると吉。
与式
$=5x^2 + (16y+22z+28)x + 12y^2 + (32z+40)y + 21z^2 +52z + 32$
$=5x^2 + (16y+22z+28)x + 12y^2 + (32z+40)y + (3z+4)(7z+8)$
$=5x^2 + (16y+22z+28)x + (2y+3z+4)(6y+7z+8)$
$=(x+2y+3z+4)(5x+6y+7z+8)$

問題2
$x^4-4x^2y^2-4x^2yz-x^2z^2+2x^2y+6x^2z+y^2+6yz+9z^2$
x の次数に注目してみると、4次の項と2次の項はありますが、他の次数の項はありません。
したがって、x についての複二次式になっています。
複二次式の因数分解の方法としては、 $x^2=t$ とおくのもありますが、それではこの問題は解けそうにありません。
そこで、
$x^4+ax^2+b^2=x^4+(a+c^2)x^2+b^2-(cx)^2=(x^2+b)^2-(cx)^2$
とできるような a, b, c を見つけようと考えるのもまた定石です。
与式
$=x^4+(-4y^2-4yz-z^2+2y+6z)x^2+(y+3z)^2$
$=x^4+2(y+3z)x^2+(y+3z)^2-(4y^2+4yz+z^2)x^2$
$=(x^2+y+3z)^2-(2xy+xz)^2$
$=(x^2+2xy+xz+y+3z)(x^2-2xy-xz+y+3z)$

因数分解は、基本的な解法を組み合わせれば、いくらでも難しい問題を作ることができます。
あまり面白い問題は作れませんが。

追記
かがみさんがコメントに寄せて下さった解法も載せておきます。
次数の最も低い文字に着目して整理する方法で、こちらの方が定石中の定石です。
与式
$=(-4x^2+1)y^2+(-4x^2z+2x^2+6z)y+(-x^2+9)z^2+6x^2z+x^4$
$=(1+2x)(1-2x)y^2+(-4x^2z+2x^2+6z)y+(3+x)(3-x)z^2+6x^2z+x^4$
$=(1+2x)(1-2x)y^2+(-4x^2z+2x^2+6z)y+\{(3+x)z+x^2\}\{(3-x)z+x^2\}$
$=(1+2x)(1-2x)y^2+(-4x^2z+2x^2+6z)y+(x^2+xz+3z)(x^2-xz+3z)$
$=\{(1+2x)y+(x^2+xz+3z)\}\{(1-2x)y+(x^2-xz+3z)\}$
$=(x^2+2xy+xz+y+3z)(x^2-2xy-xz+y+3z)$