到達不能基数ちゃんについて

非可算正則極限基数のことを, 弱到達不能基数と呼びます.
何故そのように呼ばれるのかというと, とっても大きくて, 普通の集合演算を繰り返すだけでは到達できないからです.

どれくらい大きいのか考えてみましょう.
$\aleph_{\alpha}$ が非可算正則極限基数とすると, $\rm{cf}(\aleph_{\alpha}) = \rm{cf}(\alpha)$ である一方で $\rm{cf}(\aleph_{\alpha}) = \aleph_{\alpha}$ なので $\aleph_{\alpha} = \rm{cf}(\alpha) \leq \alpha$ .
さらに, $\aleph_{\alpha} \geq \alpha$ なので, まとめると $\aleph_{\alpha} = \alpha$ となります.
この条件を満たす最小の基数は, 次のように構成できます.
$\kappa = \sup{\{\omega,\omega_{\omega},\omega_{\omega_{\omega}}\cdots\}}$ .
これが確かに集合であることは, 置換の公理により保証されます.
基数の集合の上限はまた基数であるので, $\kappa$ は確かに基数です.
そして, とても大きいということは, その構成法から容易に想像できるかと思います.
しかしながら, $\rm{cf}(\kappa) = \omega$ なので, 最小の弱到達不能基数は, これよりも大きいのであります.

あまりに大きすぎるからなのか, ZFC からは弱到達不能基数の存在を証明できないことが知られています.
~~と同時に, 非存在を証明できるわけでもありません.~~
~~つまり, 弱到達不能基数の存在命題は, ZFC から独立なのであります.~~

ところで, これは自分がはまったことなのですが, 弱到達不能基数が存在するという条件の下で, それより大きいが共終数が可算であるような基数を構成することができます(弱到達不能基数の共終数はそれ自身なので非可算です).
$\aleph_{\alpha}$ を適当な弱到達不能基数としたときに, $\sup{\{\aleph_{\alpha},\aleph_{\alpha+1},\aleph_{\alpha+2},\cdots\}}$ とすれば, これが求めるものです.
まあ, 共終数の大きさによって元の基数の大きさを比べることはできない, ということですね.
(この証明は id:tri_iro さんに教えて頂きました.)

ちなみに, 強到達不能基数と呼ばれるものもあります.
ここで, 無限基数 $\kappa$ が強極限であるとは, 任意の $\lambda < \kappa$ について $2^{\lambda} < \kappa$ となることを言います.
強極限基数は, 明らかに極限基数です.
そして, 非可算正則強極限基数のことを, 強到達不能基数と呼ぶのであります.
そんなわけで、強到達不能基数は弱到達不能基数でありますが, 逆は成り立ちません.
しかしながら, 一般連続体仮説(Generalized Continuum Hypothesis)を仮定すると $2^{\aleph_{\alpha}} = \aleph_{\alpha+1}$ なので, 二つは一致します.

~~さらにちなみに, $2^\omega$ が弱到達不能基数であるとか, 最初の弱到達不能基数よりも大きいという命題は, ZFC から独立であるそうです.~~