0で割れない理由

最近、Twitterにはまっていて、そのせいで更新が滞ってしまっています。
というわけで、今日は実数を 0 で割っちゃいけない理由について説明しちゃいます。
まず、a ÷ b を a × (1/b) の略記だと考えます。
ここで、1/b は b^-1 とも書き、これを b × b^-1 = 1 を満たす実数のことと定義します。
すると、a ÷ 0 という演算がもしも可能であるならば、これは a × 0^-1 と同じなので、0^-1 なる実数が存在するかが問題になるわけです。
0^-1 は、もし存在すれば 0 × 0^-1 = 1 を満たすはずですが、0 にどんな数をかけても 0 なので、これを満たす実数は存在しません。
というわけで、0 で割ってはいけないのは、そもそも演算を都合よく定義することができないから、と言うことができますね。
ちなみに、どんな数でも 0 をかけると 0 になるということは、群論で言うところの体の公理から導かれます。
公理から 0 + 0 = 0 が成り立つので、さらに別の公理から a × 0 = a × (0 + 0) = a × 0 + a × 0。
したがって a × 0 = 0 が導かれるのです。