先立つ結果をお許し下さい

数学的帰納法は、一般的には次のような仕組みを持ちます。

[ 数学的帰納法(1) ]
自然数についての命題 P(n) について
(i) n = 1 のとき成り立つ。
(ii) n = k のときに成り立つならば n = k + 1 のときに成り立つ。
以上の (i), (ii) が満たされるとき、全ての自然数 n について P(n) が成り立つ。

これは高校の数学Bの教科書には必ず載っているものです。
しかしながら、数学的帰納法には、教科書には載っていないこともある、次のバリエーションもあります。

[ 数学的帰納法(2) ]
自然数についての命題 P(n) について
(i) n = 1 のとき成り立つ。
(ii) n = 1 から n = k までの全ての自然数について成り立つならば n = k + 1 のときに成り立つ。
以上の (i), (ii) が満たされるとき、全ての自然数 n について P(n) が成り立つ。

んで、ちょっとした事情から、(2) を使うような問題を扱う必要性が生じました。
しかし、手元の問題集を見ても手頃なものが見つからなかったので、次のような問題を作ってみました。

次の漸化式によって定義される数列の一般項を求めよ。
$a_1 = 1$ , $n \geq 2$ のとき $a_n = k \sum_{i=1}^{n-1} a_i + 1$ (k は非負整数)

暇潰しにいかがでしょうか。