1956年　一次　理科　[1] - イガブロギュ

次の□に適当な数を記入せよ。
$x^{10}$ を $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割ったときの余りは
□ $x^3+$ □ $x^2+$ □ $x+$ □
である。

普通に割り算してもできますが, もっと上手い方法を考えてみましょう.
$x^4+x^3+x^2+x+1$ の形を見てまずは思いつかないといけないのが
$(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) = x^5-1$ です.
(一般に, $(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1) = x^n-1$ です. 大事な式なので覚えておきましょう.)
ここで $x^5$ が出てきたことから, これを使って問題にある $x^{10}$ を作れないかと考えて
$(x^5+1)(x^5-1) = x^{10}-1$ を思いつきましょう.
$x^{10} = x^{10}-1+1$ であることから, 解答は次のようになります.

$x^{10}=x^{10}-1+1=(x^5+1)(x^5-1)+1=(x^5+1)(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)+1$
よって $x^{10}$ を $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割ったときの余りは $1$ である.