1956年　一次　理科　[3] - イガブロギュ

次の□に適当な数を記入せよ。
関数 $y=\frac{x^2+3}{x-1}$ の $2 \leq x \leq 6$ における最小値は□で最大値は□, $-6 \leq x \leq -2$ における最小値は□で最大値は□である。

分子の次数が分母の次数より大きい分数式は次数下げをするのが定石です.
$x^2+3$ を $x-1$ で割ると $x+1$ 余り $4$ なので

$y=\frac{x^2+3}{x-1}=x+1+\frac{4}{x-1}$

ここまでできたら, あとは微分して増減表を調べればよさそうです.

$y'=1-\frac{4}{(x-1)^2}$
$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline y' & + & 0 & - & \times & - & 0 & + \\ \hline y & \nearrow & -2 & \searrow & \times & \searrow & 6 & \nearrow \\ \hline\end{array}$
$f(x)=x+1+\frac{4}{x-1}$ とおくと
$\lim_{x \rightarrow 1+0} f(x) = \infty$
$\lim_{x \rightarrow 1-0} f(x) = -\infty$
また
$f(-6)=-\frac{39}{7}$ , $f(-2) = -\frac{7}{3}$ , $f(2)=7$ , $f(6)=\frac{39}{5}$
以上により
$2 \leq x \leq 6$ における最小値は $6$ ( $x=3$ のとき) で最大値は $\frac{39}{5}$ ( $x=6$ のとき),
$-6 \leq x \leq -2$ における最小値は $-\frac{39}{7}$ ( $x=-6$ のとき) で最大値は $-\frac{7}{3}$ ( $x=-2$ のとき) である.