東大数学

次の□に適当な数を記入せよ。
双曲線 $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{36}=1$ と直線 $y=mx+8$ との共有点の個数は $A=$ □, $B=$ □, [tex:0
双曲線と直線の共有点の個数は $0$ 個か $1$ 個か $2$ 個であることは, グラフからしてほとんど明らかです.
実際, $y=mx+8$ を $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{36}=1$ に代入して整理するとニ次方程式(もしくは一次方程式)になります.
共有点の個数が聞かれているので, 判別式を用いることを考えます.

$y=mx+8$ を $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{36}=1$ に代入して整理すると
$(36-25m^2)x^2-400mx-2500=0$ …(1)

ここで安直に判別式を用いてはいけません.
何故なら, (1) が二次方程式になるのは $x^2$ の係数が $0$ と異なる場合だけだからです.
$x^2$ の係数が $0$ であれば一次方程式になります.

(i) $m=\pm \frac{6}{5}$ のとき
(1) を満たす $x$ はただ $1$ つ存在する.

(ii) $m \neq \pm \frac{6}{5}$ のとき
(1) の判別式を $D$ とすると
$D/4=40000m^2+2500(36-25m^2)=-22500(m+2)(m-2)$
よって, 共有点の個数は
$|m|>2$ のとき $0$
$|m|=2$ のとき $1$
$|m|<2$ のとき $2$

[tex:0

以上により, 共有点の個数は
$0 \leq m < \frac{6}{5}$ ならば $2$
$m=\frac{6}{5}$ ならば $1$
[tex:\frac{6}{5}
参考までに双曲線と $y=8$ と $y=\frac{6}{5}x+8$ と $y=2x+8$ のグラフを載せておきます.
$m=\frac{6}{5}$ のときは直線が双曲線の漸近線と平行になるので共有点の個数が $1$ 個になることが分かります.
ちなみに, 双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ の漸近線は $y=\pm \frac{b}{a}x$ です.

イガブロギュ

1956年　一次　理科　[4]