1956年　一次　文科　[2] - イガブロギュ

次の□に適当な数を記入せよ。
定点 $(13,0)$ を通る直線
$y=m(x-13)$ …(a)
は □ $\leq m \leq$ □のとき, かつ, このときに限って円
$x^2+y^2=25$ …(b)
と共有点をもつ。
そのとき, 直線 (a) から円 (b) によって切りとられる弦の中点は $1$ つの円周 $C$ の上にある。
この円周 $C$ の中心の座標は□で半径は□である。

(a) を (b) に代入すると
$(m^2+1)x^2-26m^2x+169m^2-25=0$
共有点をもつための必要十分条件は判別式 $D$ について $D \geq 0$ となることである.

$m^2+1>0$ なので, 上の式が一次方程式になることはありません.

すなわち $D/4=-144m^2+25 \geq 0$
$(12m+5)(12m-5) \leq 0$
$-\frac{5}{12} \leq m \leq \frac{5}{12}$
直線と円の二つの共有点の座標を $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2)$ とおく(共有点が一つの場合はこれらは一致する).
弦の中点の座標を $(x,y)$ とすると
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{26m^2}{2(m^2+1)}=\frac{13m^2}{m^2+1}$ …(1)

ここで, 二次方程式 $ax^2+bx+c$ の $2$ 解の和が $-\frac{b}{a}$ であることを使いました.
次に $y$ を求めますが, $2$ 解を (b) に代入しては計算が煩雑になるので (a) に代入すればいいかと思いきや, 代入する必要はありません.
$2$ 解の和を最大限に利用すれば計算は簡単になります.

$y=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{m(x_1-13)+m(x_2-13)}{2}=m\left(\frac{x_1+x_2}{2}-13\right)=m\left(\frac{13m^2}{m^2+1}-13\right)=\frac{-13m}{m^2+1}$ …(2)

あとは円の方程式を求めるために $m$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を求めればオーケーです.

(1), (2) より $x=-my$ なので $m=-\frac{x}{y}$
これを (2) に代入して
$y=\frac{-13\left(-\frac{x}{y}\right)}{\left(-\frac{x}{y}\right)^2+1}$
$y\left{\left(-\frac{x}{y}\right)^2+1\right}=-13\left(-\frac{x}{y}\right)$
$x^2+y^2=13x$
$\left(x-\frac{13}{2}\right)+y^2=\left(\frac{13}{2}\right)^2$
よって, 中心の座標は $\left(\frac{13}{2},0\right)$ , 半径は $\frac{13}{2}$ である.