1956年　一次　文科　[3] - イガブロギュ

次の□に適当な数を記入せよ。
関数 $y=a+bx+\frac{c}{x}$ の $x=1$ , $2$ , $4$ に対する値がそれぞれ $13$ , $14$ , $28$ になるならば, $x>0$ の範囲で, この関数 $y$ は $x=$ □のとき最小値□をとる。
※□の箇所を $a$ , $b$ , $c$ で表しました.

それぞれ代入して
$13=a+b+c$
$14=a+2b+\frac{c}{2}$
$28=a+4b+\frac{c}{4}$
これを解いて $a=-12$ , $b=9$ , $c=16$
よって $y=-12+9x+\frac{16}{x}$

$ax+\frac{b}{x}$ の形が出てきたら, 相加相乗平均の関係式 $A+B \geq 2\sqrt{AB}$ の出番です.
掛け算をするとうまいこと $x$ が消えます.
ただし, $A \geq 0$ かつ $B \geq 0$ の条件があることに注意.
また, 等号が成立するのは $A=B$ のとき, かつそのときに限ります.

$x>0$ のとき, 相加相乗平均の関係式より
$y=-12+9x+\frac{16}{x} \geq -12+2\sqrt{9x\cdot\frac{16}{x}}=-12+24=12$
よって, 最小値は $12$ で, そのときの $x$ は
$9x=\frac{16}{x}$
$x^2=\frac{16}{9}$
$x>0$ より
$x=\frac{4}{3}$