1956年　ニ次　解析1　[1]

放物線 $y=x^2+3x-1$ 上の相異なる 2 点が直線 $x+y=0$ に関して対称であるとき, これら 2 点の座標を求めよ。

教科書レベルの問題です.
少し考えれば直線 $x+y=0$ に関して点 $(a,b)$ と対称な点の座標は $(-b,-a)$ であることが分かり, このことを利用しても解けますが, ここではより一般的な解法で解いてみます.
ポイントは, 2 点の中点が問題の直線上にあることと, 2 点を結ぶ直線と問題の直線が垂直に交わることです.

2 点の座標をそれぞれ P $(p,p^2+3p-1)$ , Q $(q,q^2+3q-1)$ …(1) とおくと
中点が直線 $x+y=0$ 上にあることから
$\frac{p+q}{2}+\frac{(p^2+3p-1)+(q^2+3q-1)}{2}=0$
$p^2+4p+q^2+4q-2=0$ …(2)
直線 PQ と直線 $x+y=0$ が垂直であることから
$\frac{(q^2+3q-1)-(p^2+3p-1)}{q-p}=1$
$\frac{(q+p)(q-p)+3(q-p)}{q-p}=1$
$p+q+3=1$
$q=-p-2$ …(3)
(3) を (2) に代入して整理すると
$2p^2+4p-6=0$
$p^2+2p-3=0$
$(p+3)(p-1)=0$
$p=-3$ のとき (3) より $q=1$ なので (1) より 2 点の座標は $(-3,-1)$ , $(1,3)$
$p=1$ のときも同様.
以上により 2 点の座標は $(-3,-1)$ , $(1,3)$