1956年　ニ次　解析1　[2]

2 つの実係数の方程式
$x^3-ax-2b=0$ と $x^3-bx-2a=0$
とがただ 1 つの共通根をもち, どちらもそれ以外に実根をもたないためには, $(a,b)$ を座標にもつ点が平面上のどのような範囲にあることが必要で十分か。その範囲を図で示せ。

こういう場合は共通根（解）を $\alpha$ とでもおいて代入して式を整理するのが定石です.

$f(x)=x^3-ax-2b$ , $g(x)=x^3-bx-2a$ とおく.
共通根を $\alpha$ とおくと
$\alpha^3-a\alpha-2b=0$ …(1)
$\alpha^3-b\alpha-2a=0$ …(2)
辺々引いて
$(b-a)\alpha-2(b-a)=0$
ここで $a=b$ とすると $f(x)$ と $g(x)$ は一致し, 条件を満たさない.
よって $a \neq b$ …(3) であるから左辺を $b-a$ で割って
$\alpha-2=0$
よって $\alpha=2$

方程式が $\alpha(=2)$ を解にもつことから因数定理により $f(x)$ , $g(x)$ ともに $(x-2)$ を因数にもち, したがって因数分解できるはずだと見通すことが大切です.
もしここで因数分解をしないと, 後述の別解のように面倒なことになります.

(1) に代入して整理すると $a+b=4$ …(4)
$b=-a+4$ を (1), (2) に代入して整理すると
$(x-2)(x^2+2x-a+4)=0$
$(x-2)(x^2+2x+a)=0$
それぞれの判別式が負であることが条件であるから
$1-(-a+4)<0$ , $1-a<0$
よって, [tex:1
ここからは別解です.
(4) の関係式が出たあとで, 因数分解せずに無理やり解いてみます.

$f(x)=0$ が $x=2$ 以外に解をもたないためには, $y=f(x)$ のグラフが単調増加であるか, 極大値及び極小値をもち, それらの符号が一致することが必要十分である.

$y=f(x)$ のグラフが極大値及び極小値をもち, それらの符号が一致するとき
$f'(x)=3x^2-a$ より $a>0$ で, $x=\pm \sqrt{\frac{a}{3}}$ で極値をとる.
ゆえに求める条件は $f(\sqrt{\frac{a}{3}})f(-\sqrt{\frac{a}{3}})>0$
(4) を代入して整理すると（途中の計算は省略）
$(a-3)(a-12)^2<0$
したがって $a<3$
以上により [tex:0
先の解答の [tex:1