1956年　ニ次　解析1　[3]

放物線 $y^2=4p(x-\alpha)$ と円 $x^2+y^2=1$ との共有点の個数は $\alpha$ の変化に応じてどのように変わるか。ただし [tex:01] のとき, 対応する $y$ の値はない.
$|x|=1$ のとき, $y=0$
$|x|<1$ のとき, 対応する $y$ の値は 2 つある.

判別式を D とおく.

(i) $D/4<0$ のとき
$4p^2+4p\alpha+1<0$
$4p\alpha<-4p^2-1$
$p>0$ より
$\alpha<-p-\frac{1}{4p}$
よって $\alpha<-p-\frac{1}{4p}$ のとき, 共有点は 0 個.

(ii) $D/4=0$ のとき
(i) と同様にして $\alpha=-p-\frac{1}{4p}$
このとき, (3) の解は $x=-2p$
[tex:00] のとき
(i) と同様にして $\alpha>-p-\frac{1}{4p}$ …(4)

ここで, あとで出てくる $\alpha$ の値の範囲とあわせて考えるため, $-p-\frac{1}{4p}$ の値の範囲を求めておきます.
すると, [tex:0

$p>0$ なので相加相乗平均の関係式より $p+\frac{1}{4p} \geq 2\sqrt{\frac{p}{4p}} = 1$
等号が成り立つのは $p=\frac{1}{4p}$ のときで, $p>0$ より $p=\frac{1}{2}$ のとき
ところが $p<\frac{1}{2}$ より, 等号は成り立たない.
ゆえに $-p-\frac{1}{4p}<-1$

さて, このときの (3) の解は $x=-2p \pm \sqrt{4p^2+4p\alpha +1}$
この 2 解を小さい方から $s$ , $t$ とおくと, $-1<-2p<0$ であることから, 次の 5 つの場合が考えられる.

(iii)-(i)
$t>1$ のとき
位置関係から $s<-1$
このとき, $p>0$ より
$-2p+\sqrt{4p^2+4p\alpha +1}>1$
$\sqrt{4p^2+4p\alpha +1}>1+2p$
$4p^2+4p\alpha +1>(1+2p)^2$
$4p\alpha>4p$
$\alpha>1$
これは (4) を満たす.
このとき, 共有点は 0 個.

(iii)-(ii)
$t=1$ のとき
位置関係から $s<-1$
このとき, $\alpha=1$
これは (4) を満たす.
このとき, 共有点は 1 個.

(iii)-(iii)
$t<1$ かつ $s<-1$ のとき
$\alpha<1$ であり, [tex:01]
$\sqrt{4p^2+4p\alpha +1}>1-2p$
$4p^2+4p\alpha +1>(1-2p)^2$
$4p\alpha>-4p$
$\alpha>-1$
以上により $-1<\alpha<1$
これは (4) を満たす.
このとき, 共有点は 2 個.

(iii)-(iv)
$t<1$ かつ $s=-1$ のとき
$\alpha<1$ かつ $\alpha=-1$
つまり $\alpha=-1$
これは (4) を満たす.
このとき, 共有点は 3 個.

(iii)-(v)
$t<1$ かつ $s>-1$ のとき
$\alpha<1$ かつ $\alpha<-1$
つまり $\alpha<-1$
(4) とあわせて
$-p-\frac{1}{4p}<\alpha<-1$
このとき, 共有点は 4 個.

以上まとめると

$\alpha<-p-\frac{1}{4p}$ のとき, 0 個.
$\alpha=-p-\frac{1}{4p}$ のとき, 2 個.
$-p-\frac{1}{4p}<\alpha<-1$ のとき, 4 個.
$\alpha=-1$ のとき, 3 個.
$-1<\alpha<1$ のとき, 2 個.
$\alpha=1$ のとき, 1 個.
$\alpha>1$ のとき, 0個.

参考に, 適当な $\alpha$ の値に対応するグラフをかいてみると, 次のようになります.