1956年　ニ次　解析2　[1]

次の関数の最大値および最小値を求めよ。またそのときの $\theta$ の値はいかほどか。
$(2\cos2\theta+2\cos\theta+3)(2\cos\theta+3)-\sin^2 2\theta$
ただし, $0 \leq \theta \leq \pi$ とする。

$\theta$ と $2\theta$ が混在しているので, 倍角公式を使って $\theta$ に統一することを考えます.
また, $\sin$ と $\cos$ が混在していますが, $\sin$ は $\sin^2 2\theta$ の項しかないので, $\cos$ に統一するのが良さそうです.

与式 $=(2(2\cos^2\theta-1)+2\cos\theta+3)(2\cos\theta+3)-(2\sin\theta\cos\theta)^2$
$=(4\cos^2\theta+2\cos\theta+1)(2\cos\theta+3)-4\cos^2\theta(1-\cos^2\theta)$
$x=\cos\theta$ とおくと
$=(4x^2+2x+1)(2x+3)-4x^2(1-x^2)$
$=4x^4+8x^3+12x^2+8x+3$

あとは微分して増減表を書けば良さそうです.
微分しても 3 次ですが, 因数分解できます.
全ての項の係数が正であることから, $=0$ とおいた方程式の解は負のはずで, 題意から $-\frac{1}{2}$ を解にもつのではないかと予測が立ちます.

$f(x)=4x^4+8x^3+12x^2+8x+3$ とおく.
$f'(x)=16x^3+24x^2+24x+8=8(2x^3+3x^2+3x+1)=8(2x+1)(x^2+x+1)$
ここで, $x^2+x+1$ の判別式は負であるから, 増減表は次のようになる.

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline \theta & \pi & \cdots & \frac{2\pi}{3} & \cdots & 0 \\ \hline x & -1 & \cdots & -\frac{1}{2} & \cdots & 1 \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & 3 & \searrow & \frac{5}{4} & \nearrow & 35 \\ \hline\end{array}$

以上により, $\theta=0$ のとき最大値 35, $\theta=\frac{2\pi}{3}$ のとき最小値 $\frac{5}{4}$ をとる.