1956年　ニ次　幾何　[2] - イガブロギュ

半径一定の動円が平面上の直交座標系の原点 O を通りながら動くとき, この円と $x$ 軸, $y$ 軸との原点以外の交点を P, Q とすれば, 線分 PQ の 3 等分点はどのような曲線の上にあるか。

イメージが湧きにくいかもしれませんが, 原点に紙面と垂直に棒があって, そこを中心にして円を回転させる様子をイメージするといいかもしれません.
円であって円板ではないので, 内部を含まないことに注意.

円の中心の座標を $(a,b)$ , 半径を $r(>0)$ とおく.
このとき, 条件より $a^2+b^2=r^2$ …(1)
円の方程式は $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ で,
$y=0$ のとき
$x^2-2ax+a^2+b^2=r^2$
(1) より $x(x-2a)=0$
よって, $x$ 軸との交点のうち, 原点と異なる点 A の座標は $(2a,0)$
同様にして, $y$ 軸との交点のうち, 原点と異なる点 B の座標は $(0,2b)$
線分 AB を 3 等分する点を, A に近い方から M, N とおく.
M の座標は $\left(\frac{2\cdot2a+1\cdot0}{1+2},\frac{2\cdot0+1\cdot2b}{1+2}\right)=\left(\frac{4a}{3},\frac{2b}{3}\right)$
M が (1) を満たしながら動くときの軌跡を求める.
M の座標を $(x,y)$ とおくと
$x=\frac{4a}{3}$ , $y=\frac{2b}{3}$
$a=\frac{x}{\frac{4}{3}}$ , $b=\frac{y}{\frac{2}{3}}$
(1) に代入して
$\frac{x^2}{\left(\frac{4}{3}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{2}{3}\right)^2}=r^2$
$\frac{x^2}{\left(\frac{4r}{3}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{2r}{3}\right)^2}=1$
よって, M は O を中心とし, 長径 $\frac{8r}{3}$ , 短径 $\frac{4r}{3}$ の横長の楕円上にある.
同様に N の軌跡の方程式は
$\frac{x^2}{\left(\frac{2r}{3}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{4r}{3}\right)^2}=1$
であり, N は O を中心とし, 長径 $\frac{8r}{3}$ , 短径 $\frac{4r}{3}$ の縦長の楕円上にある.